Počet

Extréma f (x) je: Max z 2 pri x = 0 Min z 0 pri x = 2, -2 Ak chcete nájsť extrémy akejkoľvek funkcie, vykonajte nasledovné: 1) Odlíšte funkciu 2) Nastavte deriváciu rovná sa 0 3) Vyriešte pre neznámu premennú 4) Vyriešte riešenia do f (x) (NIE derivát) Vo vašom príklade f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Odlíšiť funkciu: podľa reťazca Pravidlo **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Zjednodušenie: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Nastavte deriváciu rovnú 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) Teraz, pretože ide o produkt, m&# Čítaj viac »

Funkcia nemá lokálne extrémy. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 nie je nikdy nedefinované a je 0 len pri x = -1. Takže jediné kritické číslo je -1. Keďže f '(x) je kladné na oboch stranách -1, f nemá ani minimum ani maximum v -1. Čítaj viac »

(0, -1) Miestne extrémy sa vyskytujú, keď f '(x) = 0. Takže nájdite f '(x) a nastavte ho na hodnotu 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 Tam je lokálny extrém na (0, -1). Skontrolujte graf: graf {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Čítaj viac »

Táto funkcia nemá žiadne lokálne extrémy. V lokálnom extréme musíme mať f prime (x) = 0 Teraz, f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Uvažujme, či to môže zmiznúť. Aby sa tak stalo, musí byť hodnota g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x rovná -8. Keďže g prime (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, extrémy g (x) sú v bodoch, kde x ^ 2 + 10x + 11 = 0, tj pri x = -5 pm sqrt {14}. Vzhľadom k tomu, g (x) na infty a 0 ako x na pm infty, je ľahké vidieť, že minimálna hodnota bude na x = -5 + sqrt {14}. Máme g (-5 + sqrt {14}) ~ ~ -1,56, takže minimálna hodn Čítaj viac »

Paraboly majú presne jeden extrém, vrchol. Je (-4 1/2, -19 1/4). Keďže {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 všade, funkcia je všade konkávna a tento bod musí byť minimálny. Máte dva korene k nájdeniu vrcholu parabola: jedna, použiť kalkul nájsť bolo derivácia je nula; dva, vyhnúť sa počtu za každú cenu a len dokončiť námestie. Budeme používať kalkul pre prax. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, musíme z toho odvodiť deriváciu. {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) Linearitou derivácie máme {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1). Pomocou Čítaj viac »

Lokálna extréma: x ~ ~ -1,15 x = 0 x ~ ~ 1.05 Nájsť deriváciu f '(x) Nastaviť f' (x) = 0 Toto sú vaše kritické hodnoty a potenciálne lokálne extrémy. Nakreslite číselnú čiaru s týmito hodnotami. Zapojte hodnoty do každého intervalu; ak f '(x)> 0, funkcia sa zvyšuje. ak f '(x) <0, funkcia sa znižuje. Keď sa funkcia zmení z negatívnej na pozitívnu a je nepretržitá v tomto bode, existuje lokálne minimum; a naopak. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 Čítaj viac »

X = 0, -4/3 Nájdite deriváciu f (x) = x ^ 2 (x + 2). Budete musieť použiť pravidlo produktu. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Nastaviť f '(x) nula, aby sa našli kritické body. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) má lokálne extrémy pri x = 0, -4/3. OR f (x) má lokálne extrémy v bodoch (0, 0) a (-4/3, 32/27). Čítaj viac »

Funkcia má 2 extrémy: f_ {max} (- 2) = 18 a f_ {min} (2) = - 14 Máme funkciu: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Ak chcete nájsť extrém, vypočítame deriváciu f '(x) = 3x ^ 2-12 Prvou podmienkou na nájdenie extrémnych bodov je, že takéto body existujú iba tam, kde f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Teraz musíme skontrolovať, či derivácia mení znamienko na kalcolovaných bodoch: graf {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} Z grafu vidíme, že f (x) má maximum pre x = -2 a minimálne pre x = 2. Posledný Čítaj viac »

X ^ 3-3x + 6 má lokálne extrémy na x = -1 a x = 1 Miestne extrémy funkcie sa vyskytujú v bodoch, kde prvá derivácia funkcie je 0 a znamenie prvých zmien derivácie. To znamená, že pre x kde f '(x) = 0 a buď f' (x-varepsilon) <= 0 a f '(x + varepsilon)> = 0 (miestne minimum) alebo f' (x-varepsilon)> = 0 a f '(x + varepsilon) <= 0 (lokálne maximum) Ak chcete nájsť lokálne extrémy, potom musíme nájsť body, kde f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) so f '(x) = 0 <=> 3 (x + Čítaj viac »

Maxima = 19 pri x = -1 Minimum = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Ak chcete nájsť lokálny extrém, najprv nájdite kritický bod f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 Nastavte f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 alebo x = -1 sú kritické body. Musíme urobiť druhý derivačný test f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, takže f dosiahne svoje minimum pri x = 5 a minimálna hodnota je f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, takže f dosiahne svoje maximum x = -1 a maximálna hodnota je f (-1) = 19 Čítaj viac »

Daná funkcia má bod minima, ale určite nemá bod maxima. Daná funkcia je: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) Pri diferenciácii, f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) Pre kritické body musíme nastaviť f '(x) = 0. znamená (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ) ^ 2) = 0 implikuje x ~ ~ -0,440489 Toto je bod extrémov. Na overenie, či funkcia dosahuje maximá alebo minimá pri tejto konkrétnej hodnote, môžeme urobiť druhý derivačný test. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0,44)> 0 Pretože Čítaj viac »

Jeden kritický bod tejto funkcie je x cca -9.01844. Miestne minimum sa vyskytuje v tomto bode. Pravidlom Quotient pravidla je derivácia tejto funkcie f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Táto funkcia sa rovná nule, ak a len ak 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. Korene tejto kubickej zahŕňajú negatívne iracionálne (reálne) číslo a dve komplexné čísla. Skutočný koreň je x -9.01844. Ak pripojíte číslo menšie ako toto do f ', dostanete záporný výstup a ak pripojíte číslo Čítaj viac »

(0.14414, 0.05271) je lokálne maximum (1.45035, 0.00119) a (-1.59449, -1947.21451) sú lokálne minimá. , f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo Toto sa nekvalifikuje ako lokálny extrém. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Ak chcete vyriešiť korene tejto kubickej funkcie, použijeme Newton-Raphsonovu metódu: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) Toto je iteratívny proces, ktorý nás zavedie bližšie a bližšie ku koreňu funkcie. Nepatr Čítaj viac »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) cca 0,541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Použitie pravidla produktu f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx Pre lokálne maximá alebo minimá: f' (x) = 0 Nech z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 alebo z = -2 Preto pre lokálne maximum alebo minimum: lnx = 0 alebo lnx = -2: .x = 1 alebo x = e ^ -2 cca 0.135 Teraz preskúmajte graf x (lnx) ^ 2 nižšie. graf {x (lnx) ^ 2 [-2,566, 5,23, -1,028, 2,87]} Môžeme pozorovať, že zjednodušené f (x) má lokálne minimum v x = 1 a lok Čítaj viac »

Grafickou metódou je lokálne maximum 1,365, takmer v bode obratu (-0,555, 1,364), takmer. Krivka má asymptotu y = 0 larr, os x. Aproximácie k bodu obratu (-0,555, 1,364) boli získané pohybom línií rovnobežných s osami, aby sa stretli v zenite. Ako je uvedené v grafe, je možné dokázať, že ako x to -oo, y až 0 a ako x na oo, y až -oo #. graf {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1,364) (x +555 + 0,001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} Čítaj viac »

Máme maximá na x = 0 Ako f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x Ako f' (x) = 0 pre x = 0, teda máme lokálne extrémy na x = -9 / 4 Ďalej f '' (x) = - 4 a teda pri x = 0 máme maximá pri x = 0 grafe {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Čítaj viac »

Neexistujú žiadne lokálne extrémy. Miestne extrémy by sa mohli vyskytnúť, keď f '= 0 a keď f' prepne z pozitívneho na negatívny alebo naopak. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-xf '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 Násobenie x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Miestne extrémy sa môžu vyskytnúť, keď f '= 0. Pretože nemôžeme vyriešiť, keď sa to stane algebraicky, poďme graf f ': f' (x): graf {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f 'nemá nuly. Takže f ne Čítaj viac »

Miestne extrémy sú -2sqrt (6) pri x = -sqrt (3/2) a 2sqrt (6) pri x = sqrt (3/2) Lokálne extrémy sú umiestnené v bodoch, kde prvý derivát funkcie hodnotí 0. Aby sme ich našli, najprv nájdeme deriváciu f '(x) a potom vyriešime pre f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Ďalej, riešenie pre f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Takže pri hodnotení pôvodnej funkcie v týchto bodoch dostaneme -2sqrt (6) ako lokálne maximum na x = -sqrt (3/2) a 2sqrt (6) ako lok Čítaj viac »

Minima f: 38.827075 pri x = 4.1463151 a druhá pre záporné x. Čoskoro by som navštívil, s iným minimom .. V skutočnosti, f (x) = (biquadratic v x) / (x-1) ^ 2. Pomocou metódy parciálnych zlomkov, f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Táto forma odhaľuje asymptotickú parabolu y = x ^ 2 + 3x +4 a vertikálna asymptota x = 1. As x na + -oo, f na oo. Prvý graf odhaľuje parabolickú asymptotu, ktorá leží nízko. Druhý ukazuje graf vľavo od vertikálnej asymptoty, x = 1, a tretí je pre pravú stranu. Tie sú vhodne zmenšen& Čítaj viac »

F_ (min) = f (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Všimnite si, že f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x v RR- {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(x-1/4) +1/4} / (x-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4. Teraz, pre Local Extrema, f '(x) = 0, a f' '(x)> alebo <0, "podľa" f_ (min) alebo f_ (max), "resp." f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (x-1/4) = 1 / {4 (x-1/4) Čítaj viac »

Predpokladám, že buď je chyba, alebo je to "trik" otázka. 1 ^ x = 1 pre všetky x, takže ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Preto f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 pre všetky x. f je konštanta. Minimálna a maximálna hodnota f sú 0. Čítaj viac »

Pozrime sa. Nech je funkcia y. : .Y = f (x) = e ^ (x ^ 2) -X ^ 2e ^ x. Teraz nájdite dy / dx a (d ^ 2y) / dx ^ 2. Teraz postupujte podľa krokov uvedených v nasledujúcej adrese URL rarr http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Dúfam, že to pomôže :) Čítaj viac »

Pri x = pi / 2 f '' (x) = - 1 máme lokálne maximá a pri x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 máme lokálne minimá. Maxima je horný bod, ku ktorému funkcia stúpa a potom znova klesá. Sklon tangenty alebo hodnota derivátu v tomto bode bude nula. Ďalej, pretože dotyčnice vľavo od maxima budú sklonené smerom nahor, potom splošťovanie a potom sklonenie nadol, sklon tangenty bude kontinuálne klesať, t.j. hodnota druhého derivátu by bola záporná. Minimá na druhej strane sú dolným bodom, ku ktorému funkcia padá a Čítaj viac »

Blízko + -1,7. Pozri graf, ktorý uvádza túto aproximáciu. Neskôr by som sa pokúsil poskytnúť presnejšie hodnoty. Prvý graf ukazuje asymptoty x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Všimnite si, že tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) má limit + -oo, ako x až 0 _ + - Druhý (nie meraný ad hoc) graf aproximuje lokálne extrémy ako + -1,7. Zlepšil by som ich neskôr. Neexistujú žiadne globálne extrémy. graf {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} graf {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} Čítaj viac »

X = 1.763 Vezmite deriváciu lnx / e ^ x pomocou pravidla kvocientu: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) ae ^ x zhora a posúvajte ho nadol do menovateľa: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Nájdi, keď f' (x) = 0 Toto sa stane len vtedy, keď čitateľ je 0: 0 = (1 / x-ln (x)) Budete potrebovať grafickú kalkulačku pre túto. x = 1.763 Zapojenie čísla pod 1.763 by vám dáva pozitívny výsledok, zatiaľ čo pripojenie čísla nad 1.763 by vám poskytlo negatívny výsledok. Toto je lokálne maximum. Čítaj viac »

Miestne maximum je 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 Miestne minimum je 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 Na vyhľadanie lokálnych extrémov môžeme použiť prvý derivátový test. Vieme, že pri lokálnom extréme sa prinajmenšom rovná prvá derivácia funkcie rovná nule. Vezmime teda prvú deriváciu a nastavíme ju na hodnotu 0 a vyriešime x. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 Táto rovnosť sa dá ľahko vyriešiť pomocou kvadratických vzorec. V našom prípade a = -3, b = 6 a c = 10 Kvadratický vzorec uv Čítaj viac »

MAX (0; 0) a MIN (-10 / 3,20 / 29) Vypočítame f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3 tak f '(x) = 0 ak x = 0 alebo x = -10 / 3 máme ďalej f' '(0) = - 2/5 <0 a f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Čítaj viac »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) Takže funkcia stane sa: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Teraz f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Pre miestny extrémny bod f '(x) = 0 So [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3 = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Čítaj viac »

Relatívne maximum: (-1, 6) relatívne minimum: (3, -26) Dané: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Nájdite kritické čísla nájdením prvého derivátu a jeho nastavením na hodnotu rovnú nula: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 Faktor: (3x + 3) (x -3) = 0 Kritické čísla: x = -1, "" x = 3 Použite druhý derivačný test na zistite, či sú tieto kritické čísla relatívnymi maximami alebo relatívnymi minimami: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "relatívny max na" x = -1 f '' ( 3) = Čítaj viac »

1 + -2sqrt (3) / 3 Polynóm je spojitý a má spojitú deriváciu, takže extrému možno nájsť tak, že derivačnú funkciu priradíme nule a vyriešime výslednú rovnicu. Derivačná funkcia je 3x ^ 2-6x-1 a má korene 1 + -sqrt (3) / 3. Čítaj viac »

Body otáčania (lokálne extrémy) sa vyskytujú, keď je derivácia funkcie nulová, tj keď f '(x) = 0. to je, keď 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). pretože druhá derivácia f '' (x) = 6x a f '' (sqrt (7/3))> 0 a f '' (- sqrt (7/3)) <0, znamená to, že sqrt (7/3) 3) je relatívne minimum a -sqrt (7/3) je relatívne maximum. Zodpovedajúce hodnoty y možno nájsť nahradením späť do pôvodnej rovnice. Graf funkcie umožňuje overiť vyššie uvedené výpočty. graf {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} Čítaj viac »

(0,15), (4, -17) Lokálny extrém, alebo relatívne minimum alebo maximum, nastane, keď derivácia funkcie je 0. Takže ak nájdeme f '(x), môžeme ho nastaviť na rovný na 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Nastavte ju na hodnotu 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Nastavte každú časť rovnú 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rrrx = 4):} Extréma sa vyskytuje pri (0,15) a (4, -17). Pozrite sa na ne na grafe: graf {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42,66, 49,75, -21,7, 24,54]} Extrémy alebo zmeny smeru sú na hodnote (0,15) a (4, - 17). Čítaj viac »

F (x) _max = (1.37, 8.71) f (x) _min = (4.63, -8.71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Pre lokálne maximá alebo minimá: f '(x) = 0 Tak: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Použitie kvadratického vzorca: x = (18 + -sqrt (18 ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 alebo 4.633 Na testovanie lokálneho maxima alebo minima: f '' (1.367) <0 -> Miestne Maximum f '' (4.633)> 0 -> Miestne Minimum f (1.367) ~ = 8.71 Miestne Maximálne f (4.633) ~ = -8.71 Miestne Minimum Tieto lokálne extrémy je možn Čítaj viac »

F (x) má lokálne maximum cca (0.1032, 15.0510) f (x) má lokálne minimum pri (3.2301, -0.2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Použiť pravidlo produktu. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) Použite pravidlo napájania. f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 Pre lokálne extrémy f '(x) = 0 Preto 3x 3x 2-10x + 1 = 0 Použite kvadratický vzorec. x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1) / (2 x 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 približne 3,2301 alebo 0,1032 f '' (x ) = 6x-10 Pre lokálne maximum f '&# Čítaj viac »

X_1 = -1 je maximum x_2 = 1 je minimum Najprv nájdite kritické body porovnaním prvej derivácie s nulou: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 Ako x! = 0 môžeme násobiť x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 so x ^ 2 = 1 ako druhý koreň je záporný a x = + - 1 Potom sa pozrieme na znamenie druhej derivácie: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0, takže: x_1 = -1 je maximum x_2 = 1 je minimálny graf {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } Čítaj viac »

Miestne maximum ~ -0,794 (pri x ~ ~ -0,563) a miestne minimá sú ~ ~ 18,185 (pri x ~ ~ -3,107) a ~ ~ -2,081 (pri x ~ ~ 0,877) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Kritické čísla sú riešenia pre 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. Nemám presné riešenia, ale pomocou numerických metód nájdeme reálne riešenia približne: -3.107, - 0.563 a 0.887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Použite druhý test derivácie: f '' (- 3.107)&g Čítaj viac »

(1, e ^ -1) Musíme použiť pravidlo produktu: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x Pri min / max f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 Teraz, e ^ x> 0 AA x v RR:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Preto existuje jeden bod obratu na (1) , e ^ -1) graf {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Čítaj viac »

Táto funkcia nemá žiadne lokálne extrémy. f (x) = xlnx-xe ^ x znamená g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Ak má byť x lokálny extrém, g (x) musí byť nula. Teraz ukážeme, že to nenastane pre žiadnu reálnu hodnotu x. Všimnite si, že g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Tak g ^ '(x) zmizne, ak e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Toto je transcendentálna rovnica, ktorú možno numericky vyriešiť. Keďže g ^ '(0) = + oo a g ^' (1) = 1-3e <0, koreň leží medzi 0 a 1. A keďže g ^ {''} Čítaj viac »

X_1 = 2,430500874043 a y_1 = -1,4602879768904 Maximálny bod x_2 = -1,0971675407097 a y_2 = -0.002674986072485 Minimálny bod Určenie derivácie f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 Vezmite čitateľ potom rovná nule ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 zjednodušuje (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Faktorovanie spoločného výrazu (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 Hodnoty x sú: x Čítaj viac »

Polynómy sú všade diferencovateľné, preto hľadajte kritické hodnoty jednoduchým nájdením riešení pre f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 Pomocou algebry vyriešite túto jednoduchú kvadratickú rovnicu: x = -1 a x = 1 / 2 Určite, či ide o min alebo max, zapojením do druhej derivácie: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, takže -1 je maximum f '' (1/2)> 0, takže 1/2 je minimálna nádej, ktorá pomohla Čítaj viac »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Táto funkcia má vertikálnu asymptotu pri x = 2, približuje sa 1 zhora ako x ide do + oo (horizontálna asymptota) a približuje sa 1 zdola ako x ide to -oo. Všetky deriváty sú tiež nedefinované pri x = 2. Existuje jedna lokálna minima na x = 0, y = 0 (Všetky tie problémy pre pôvod!) Poznámka: Možno budete chcieť skontrolovať moju matematiku, dokonca aj tí najlepší z nás zanechajú nepárne záporné znamienko a toto je dlhá otázka. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Táto funkcia má vertikálnu asym Čítaj viac »

Bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) To je tangenciálny vektor. bb r '(3) = (24, 81) Čiara dotyčnice je: bb l (lambda) = bb r (3) + lambda bb r' (3) = (39,81) + lambda (24, 81) faktor faktora smer vektora môže byť malý: bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) Čítaj viac »

Limit je 1/5. Vzhľadom k tomu, lim_ (xto0) sinx / (5x) Vieme, že farba (modrá) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Takže môžeme prepísať naše uvedené ako: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Čítaj viac »

Ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Sme daní: ln (xe ^ x) / (x) dx Použitie ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Použitie ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x ) + xln (e)) / (x) dx Pomocou ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Rozdelenie zlomku (x / x = 1): = t (ln (x) / x + 1) dx Oddelenie súčtových integrálov: = ln (x) / xdx + int dx Druhý integrál je jednoducho x + C, kde C je ľubovoľná konštanta. Prvý integrál, používame u-substitúciu: Nechajme u = ln (x), teda du = 1 / x dx Použitie u-substitúcie: = int udu + x + C Integr& Čítaj viac »

T = 0 a t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Kritické body funkcie sú také, kde derivácia funkcie je nula alebo nedefinovaná. Začneme nájdením derivátu. Môžeme to urobiť pomocou pravidla výkonu: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t Funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla, takže nenájdeme žiadne kritické body týmto spôsobom, ale môžeme vyriešiť nuly funkcie: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Použitie princípu nulového faktora , vidíme, že t = 0 je riešenie. Môžeme vyriešiť, keď s Čítaj viac »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Čítaj viac »

Sekvencia má rovnaké správanie ako n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, keď n je veľké Mali by ste manipulovať s výrazom len trochu, aby toto vyhlásenie bolo jasné. Rozdeľte všetky výrazy pomocou n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Všetky tieto limity existujú, keď n-> oo, takže máme: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, takže sekvencia má tendenciu 0 Čítaj viac »

X in {-3/2, 3/2} Táto otázka sa v skutočnosti pýta, kde tangenciálne priamky y = 1 / x (ktoré možno považovať za sklon v bode dotyku) sú rovnobežné s y = -4 / 9x + 7. Keďže dve čiary sú paralelné, keď majú rovnaký sklon, je to ekvivalentné pýtaniu, kde y = 1 / x má tangenciálne čiary so sklonom -4/9. Sklon priamky tangenta k y = f (x) pri (x_0, f (x_0)) je daný f '(x_0). Spolu s vyššie uvedeným to znamená, že naším cieľom je vyriešiť rovnicu f '(x) = -4/9, kde f (x) = 1 / x. Ak vezmeme deriváciu, máme f '(x) Čítaj viac »

F '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) hriech (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sek ^ 2x g (x) = - sek ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Čítaj viac »

Farba (modrá) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Ak: y = ln (x) <=> e ^ y = x Pomocou tejto definície pre daná funkcia: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Diferenciácia implicitne: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Rozdelenie podľa: farby (biela) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Z vyššie: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. dy / dx = farba (modrá) ((1-3e ^ (- 3 x)) / (x + 4 + e ^ (- 3 x))) Čítaj viac »

Gottfried Wilhelm Leibniz bol matematik a filozof. Mnohé z jeho príspevkov do sveta matematiky boli vo forme filozofie a logiky, ale je oveľa viac známy pre objavovanie jednoty medzi integrálom a plochou grafu. On bol primárne zameraný na podanie kalkulu do jedného systému a vymyslenie notácie, ktorá by jednoznačne definovala počet. Tiež objavil pojmy ako vyššie deriváty a podrobne analyzoval pravidlá týkajúce sa produktov a reťazcov. Leibniz pracoval hlavne s vlastným vymysleným zápisom, ako napríklad: y = x na označenie funkcie, v t Čítaj viac »

Sir Isaac Newton bol už dobre známy svojou teóriou gravitácie a pohybom planét. Jeho vývoj v počte bolo nájsť spôsob, ako zjednotiť matematiku a fyziku planetárneho pohybu a gravitácie. Zaviedol tiež pojem produktového pravidla, reťazového pravidla, Taylorovho radu a derivátov vyšších ako prvý derivát. Newton pracoval najmä s funkciou notácie, ako napríklad: f (x) na označenie funkcie f '(x) na označenie derivácie funkcie F (x) na označenie antiderivácie funkcie Tak napríklad, vyzerá pravidlo produktu takto: &q Čítaj viac »

Pokiaľ ide o skutočný život, diskontinuita je rovnaká ako posunutie ceruzky o graf s grafickou funkciou. Pozri nižšie S touto myšlienkou na mysli existuje niekoľko typov diskontinuity. Vynechateľná diskontinuita Nekonečná diskontinuita skoku a diskontinuita konečného skoku Tento typ vidíte na niekoľkých internetových stránkach. toto je napríklad konečná diskontinuita skoku. Matematicky, contnuity je ekvivalentné povedať, že: lim_ (xtox_0) f (x) existuje a je rovný f (x_0) Čítaj viac »

Funkcia má diskontinuitu, ak nie je dobre definovaná pre konkrétnu hodnotu (alebo hodnoty); existujú 3 typy diskontinuity: nekonečné, bodové a skokové. Mnoho spoločných funkcií má jednu alebo niekoľko diskontinuít. Napríklad funkcia y = 1 / x nie je dobre definovaná pre x = 0, takže hovoríme, že má pre túto hodnotu diskontinuitu x. Pozri graf nižšie. Všimnite si, že tu krivka nekrižuje pri x = 0. Inými slovami, funkcia y = 1 / x nemá hodnotu y pre x = 0. Podobným spôsobom má periodická funkcia y = tanx diskontinuit Čítaj viac »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2) + C Keďže menovateľ je už faktom, všetko, čo potrebujeme urobiť, je vyriešiť pre konštanty: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Všimnite si, že potrebujeme ako x, tak konštantný výraz na ľavom zlomku, pretože čitateľ je vždy o 1 stupeň nižší ako menovateľa. Mohli by sme sa množiť prostredníctvom menovateľa na ľavej strane, ale to by bolo obrovské množstvo práce, takže môžeme namiesto toho byť inteligentní a použiť metódu krytia. Ne Čítaj viac »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Náš veľký problém v tomto integrále je koreň, takže sa ho chceme zbaviť. Môžeme to urobiť zavedením substitúcie u = sqrt (2x-1). Derivácia je potom (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Takže sa delíme (a pamätajte, že delenie recipročným je rovnaké ako násobenie len menovateľom) na integráciu s ohľadom na u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / zrušiť (sqrt (2x-1)) zrušiť (sqrt (2x-1)) d = int t ^ 2-1 du Teraz všetko, čo potrebujeme urobiť, je vyjadriť x ^ Čítaj viac »

C = 2/3 Aby f (x) bolo spojité pri x = 2, musí byť pravdivé nasledovné: lim_ (x-> 2) f (x) existuje. f (2) existuje (toto nie je problém, pretože f (x) je jasne definované v x = 2 Poďme preskúmať prvý postulát. Vieme, že pre existenciu limitu musí byť ľavá a pravá hranica rovnaká. Matematicky: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) Toto tiež ukazuje, prečo nás zaujíma len x = 2: Je to jediná hodnota x pre táto funkcia je definovaná ako rôzne veci vpravo a vľavo, čo znamená, že existuje šanca, že hranice ľav Čítaj viac »

4pi ^ 2ab Byť ds = ad theta prvok dĺžky v kruhu s polomerom a, ktorý má vertikálnu os ako stred rotácie a počiatok kruhu vo vzdialenosti b od osi rotácie, máme S = int_ {0} ^ {2pi } 2 pi (b + a cos theta) ad theta = 4pi ^ 2ab Čítaj viac »

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Rozlišujte obidve strany. Prostredníctvom Druhej základnej vety kalkulu na ľavej strane a pravidiel produktu a reťazca na pravej strane vidíme, že diferenciácia ukazuje, že: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) X = 2 znamená, že f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Integrujte vnútorný pojem. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Vyhodnoťte. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 Čítaj viac »

(C) Uvedomujúc si, že funkcia f je diferencovateľná v bode x_0 ak lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L daná informácia je efektívna, že f je diferencovateľná na 2 a že f '(2) = 5. Teraz, keď sa pozrieme na tvrdenia: I: Pravá Diferenciálnosť funkcie v bode znamená jej kontinuitu v tomto bode. II: Pravda Uvedené informácie zodpovedajú definícii diferencovateľnosti pri x = 2. III: False Derivácia funkcie nie je nevyhnutne kontinuálna, klasický príklad je g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) ak x! = 0), (0 ak x = 0):}, ktorý je difere Čítaj viac »

Y = -48x - 79 Čiara dotýkajúca sa grafu y = f (x) v bode (x_0, f (x_0)) je priamka so sklonom f '(x_0) a prechádzajúcim bodom (x_0, f (x_0)) , V tomto prípade sme dostali (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). Potrebujeme teda len vypočítať f '(x_0) ako sklon a potom ho zastrčiť do rovnice bodového sklonu priamky. Výpočet derivácie f (x), dostaneme f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = Čiara má teda sklon -48 a prechádza (-2, 17). Je to teda rovnica y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 Čítaj viac »

F (x) = x Hľadáme funkciu f: RR rarr RR tak, že riešenie f (x) = f ^ (- 1) (x) To je to, že hľadáme funkciu, ktorá je jej vlastnou inverziou. Jednou z takýchto funkcií je triviálne riešenie: f (x) = x Dôkladnejšia analýza problému je však značne zložitá, ako to zistili Ng Wee Leng a Ho Foo Him, ako je uverejnené v časopise Asociácie učiteľov matematiky , http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Čítaj viac »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( zrušiť (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((zrušiť (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "Teraz vyplňte x = a:" = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "Môžeme tiež použiť l 'Hôpital pravidlo:" "Odvodenie čitateľa a menovateľa výnosy:" "(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "Teraz vyplňte x = a:" "= 3 / (4a) Čítaj viac »

Začneme diferencovaním pomocou pravidla produktu a pravidla reťazca. Nech y = u ^ (1/2) a u = x. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) a u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Teraz podľa pravidla výrobku; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) Miera zmeny pri akýkoľvek daný bod funkcie je daný hodnotením x = a do derivátu. Otázka hovorí, že rýchlosť zmeny pri x = 3 je dvojnásobkom rýchlosti zmeny pri x = c. Našou prvou úlohou je nájsť rýchlosť zmeny na x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)) Rýchlosť zmeny pri x = c je p Čítaj viac »

-1.11164 "Toto je integrál racionálnej funkcie." "Štandardný postup je rozdelenie na čiastkové zlomky." "Najprv hľadáme nuly menovateľa:" x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1 alebo 4 "Takže sme sa rozdelili na čiastkové zlomky:" (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + Bx (x-4) + Cx (x-1) => A + B + C = 0, -5A - 4B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "Takže máme" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x Čítaj viac »

Tangenty sú 25x-9y + 54 = 0 a y = x + 6 Nech je sklon tangenty m. Rovnica tangenta potom je y-6 = mx alebo y = mx + 6 Teraz sa pozrime na priesečník tejto dotyčnice a danej krivky y = (x + 2) / (x + 3). Pre toto uvedenie y = mx + 6 v tomto dostaneme mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) alebo (mx + 6) (x + 3) = x + 2 tj mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 alebo mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 To by malo udávať dve hodnoty x, tj dva priesečníky, ale dotyčnica odreže krivku len v jednom bode. Ak teda y = mx + 6 je tangenta, mali by sme mať iba jeden koreň pre kvadratickú rovnicu, ktorá je možná onli, ak je di Čítaj viac »

Má kritické body len pre k> 0 Najprv si spočítame prvú deriváciu h (x). h ^ (prvočíslo) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Teraz, ak má byť x_0 kritickým bodom h, musí sa riadiť podmienkou h ^ (prvočíslo) (x_0) = 0, alebo: h ^ (prvočíslo) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Teraz prirodzený logaritmus k je iba definované pre k> 0, takže h (x) má iba kritické body pre hodnoty k> 0. Čítaj viac »

Zavoláme dĺžku strán N a S x (nohy) a ďalšie dve zavoláme y (aj v stopách). Potom budú náklady na plot: 2 * x * $ 10 pre N + S a 2 * y * $ 15 pre E + W Potom rovnica pre celkové náklady na plot bude: 20x + 30y = 480 Oddeľujeme y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Plocha: A = x * y, nahrádzajúce y v rovnici, ktorú dostaneme: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Aby sme našli maximum, musíme rozlišovať túto funkciu a potom nastaviť deriváciu na 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Ktoré rieši x = 12 Nahradenie v skoršej rovnici y = 16-2 / 3 x = 8 Čítaj viac »

Dy / dx = (3 sek ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Pravidlo reťazca: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g '(x) Najprv rozlíšite vonkajšiu funkciu, ponechajte vnútornú samotnú a potom vynásobte deriváciou vnútornej funkcie. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sek ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1) ) ^ (1/2) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sek ^ 2 sqrt (3x- 1) 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 s ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Čítaj viac »

1 f (n) = n ^ (1 / n) znamená log (f (n)) = 1 / n log n Teraz lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 Od denníka x je spojitá funkcia, máme log (lim_ {n až oo} f (n)) = lim_ {n až oo} log (f (n)) = 0 imp_b {n to oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Čítaj viac »

Lim_ (x rarr 0) hriech (1 / x) / (hriech (1 / x)) = 1 hľadáme: L = lim_ (x rarr 0) hriech (1 / x) / (hriech (1 / x) ) Keď vyhodnotíme limit, pozeráme sa na správanie sa funkcie „v blízkosti“ bodu, nie nevyhnutne na správanie sa funkcie „na“ v danom bode, teda ako x rarr 0, v žiadnom prípade nepotrebujeme uvažovať o sa stane pri x = 0, teda dostaneme triviálny výsledok: L = lim_ (x rarr 0) h (1 / x) / (hriech (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 Pre prehľadnosť grafu funkcie na vizualizáciu správania okolo x = 0 grafu {sin (1 / x) / hriech (1 / x) [-10, 10, -5, 5]} Malo by Čítaj viac »

Limit neexistuje. Ako x sa blíži 1, argument, pi / (x-1) preberá hodnoty pi / 2 + 2pik a (3pi) / 2 + 2pik nekonečne často. Hriech (pi / (x-1)) preberá hodnoty -1 a 1, nekonečne mnohokrát. Hodnota sa nemôže blížiť k jednému obmedzujúcemu číslu. graf {sin (pi / (x-1)] [-1,796, 8,07, -1,994, 2,94]} Čítaj viac »

"Pozri vysvetlenie" "Použiť definíciu | x |:" f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "Teraz odvodte:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "Tak vidíme, že existuje diskontinuita v x = 0 pre f' (x)." "Pre zvyšok je všade diferencovateľný." Čítaj viac »

Teleskopický rad 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Toto je sbalenie (teleskopický) rad. Jeho prvý termín je -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Čítaj viac »

Druhý Derivačný test znamená, že kritické číslo (bod) x = 4/7 dáva lokálne minimum pre f, pričom nehovorí nič o povahe f v kritických číslach (bodoch) x = 0,1. Ak f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, potom pravidlo Product hovorí f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) Nastavenie na nulu a riešenie pre x znamená, že f má kritické čísla (body) pri x = 0,4 / 7,1. Pomocou pravidla Product opäť dáva: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 Čítaj viac »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Dovoliť: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Ak nie je jasné, aký je účinok, potom je najlepšia možnosť rozšíriť niekoľko pojmov súčtu: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} {{0a_0x ^ (1 ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Potom môžeme zaradiť sériu späť do notácie "sigma": S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) Čítaj viac »

V = 8pi jednotky objemu V podstate problém, ktorý máte, je: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Pamätajte, že objem pevnej látky je daný: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Tak, náš pôvodný Intergral zodpovedá: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Ktorý je zase rovný: V = pi [x ^ 2 / (2)] medzi x = 0 ako náš dolný limit a x = 4 ako náš horný limit. Pomocou Základnej vety Calculus nahrádzame naše limity v našom integrovanom výraze ako odčítame dolnú hranicu od hornej hranice. V = pi [16 / 2-0] V = objemové jednotky 8pi Čítaj viac »

Limit nám umožňuje skúmať tendenciu funkcie okolo daného bodu, aj keď funkcia nie je definovaná v bode. Pozrime sa na nižšie uvedenú funkciu. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Pretože jeho menovateľ je nula, keď x = 1, f (1) nie je definované; jeho limit na x = 1 však existuje a indikuje, že hodnota funkcie sa blíži 2. lim_ {x až 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x až 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x až 1 } (x + 1) = 2 Tento nástroj je veľmi užitočný v počte, keď je sklon tečniacej čiary aproximovaný svahmi sečnych čiar s blížiacimi sa priesečníkmi, čo motivuje definí Čítaj viac »

Farba (modrá) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) Je potrebné toto rozlíšiť implicitne, pretože nemáme funkciu z hľadiska jednej premennej. Keď rozlišujeme y, použijeme pravidlo reťazca: d / dy * dy / dx = d / dx Ako príklad, ak by sme mali: y ^ 2 To by bolo: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx V tomto príklade tiež potrebujeme použiť pravidlo produktu na výraz xy ^ 2 Písanie sqrt (y) ako y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Rozlišovanie: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 Faktor von dy / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/ Čítaj viac »

V = 685 / 32pi kubické jednotky Najprv načrtnite grafy. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-intercept y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 A máme to {(x = 0), (x = 1):} Takže zachytenia sú (0,0) a (1,0) Získať vrchol: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Takže vrchol je na (1/2, -1 / 4) Opakovať predchádzajúce: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 A máme to {(x = sqrt (3) ), (x = -sqrt (3)):} Takže zachytenia sú (sqrt (3), 0) a (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Vertex je teda (0,3) Výsledok: Ako získať hlasitosť? Použijeme metódu disku! T&# Čítaj viac »

124.5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [((2x ^ 4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] S hornou hranicou x = 4 a dolnou hranicou x = 1 Aplikujte svoje limity v integrovanom výraze, tj odpočítajte dolnú hranicu od hornej hranice. = (128-16-16) - ((1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Čítaj viac »

Bodom inflexie sú: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Najprv musíme nájsť druhú deriváciu našej funkcie. 2 - Po druhé, prirovnávame túto deriváciu ((d ^ 2y) / (dx ^ 2) k nule y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Nasledujúci, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Teraz vyjadríme, že vo forme Rcos (x + lamda) kde lambda je len ostrý uhol a R je kladné celé číslo, ktoré sa má určiť. Podobne ako tento sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda Čítaj viac »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Tento problém má zmysel 4-9x ^ 2> = 0, takže -2/3 <= x <= 2/3. Preto môžeme zvoliť 0 <= u <= pi tak, že x = 2 / 3cosu. Pomocou tohto môžeme premennú x v integrále použiť dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u) )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu tu používame, že 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u a že pre 0 <= u <= pi sinu> = 0. Teraz používame integráciu podľa častí, aby sme našli intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-ints Čítaj viac »

Najprv musíme manipulovať s výrazom, aby sme ho dostali do vhodnejšej podoby. Pracujme na výraze (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Ak vezmeme teraz limity, keď h-> 0 máme: lim_ (h-> 0) ) (- h-4) / (4 (h + 2) 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Čítaj viac »

1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (Tanx-sqrt (2tanx) 1) / (Tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C Začneme u-substitúciou u = sqrt (tanx) Derivácia u je: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)), takže sa delíme že integrovať s ohľadom na u (a pamätajte si, že delenie zlomkom je rovnaké ako násobenie jeho recipročným): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) ) / sec ^ 2x du = = int 2 / sek ^ 2x d Pretože nemôžeme integrovať x s ohľadom na u, používame nasledujúcu identitu: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 To dáva: int t 2 / Čítaj viac »

Najjednoduchší spôsob, ako myslieť na dvojitý integrál, je objem pod povrchom v trojrozmernom priestore. To je analogické s myslením normálneho integrálu ako oblasti pod krivkou. Ak z = f (x, y) potom int_y int_x (z) dx dy by bol objem pod týmito bodmi, z pre domény špecifikované y a x. Čítaj viac »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ nf '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) V tomto prípade: sqrt ((x + 1) / (2x-1) = ((x + 1) / (2x-1)) (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Čítaj viac »

Prvým krokom je prepísanie funkcie ako racionálneho exponentu f (x) = sin (x) ^ {1/2} Po vyjadrení v tomto formulári ho môžete rozlíšiť pomocou pravidla Chain: Vo vašom prípade: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Potom 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) ktorý je váš odpoveď Čítaj viac »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Predpokladám, že chcete nájsť (dy) / (dx). Na tento účel najprv potrebujeme výraz y v zmysle x. Poznamenávame, že tento problém má rôzne riešenia, pretože tan (x) je periodická funkcia, tan (x-y) = x bude mať viacero riešení. Keďže však poznáme periódu funkcie tangens (pi), môžeme urobiť nasledovné: xy = tan ^ (- 1) x + npi, kde tan ^ (- 1) je inverzná funkcia tangenty, ktorá dáva hodnoty medzi -pi / 2 a pi / 2 a faktor npi bol pridaný, aby sa zohľadnila periodicita dotyčnice. To nám dáva y Čítaj viac »

Y = -2x + pi / 2 Ak chcete nájsť rovnicu tečnej čiary k krivke y = cos (2x) pri x = pi / 4, začnite tým, že vezmeme deriváciu y (použite pravidlo reťazca). y '= - 2sin (2x) Teraz pripojte svoju hodnotu pre x do y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 Toto je sklon tangenty v x = pi / 4. Aby sme našli rovnicu dotyčnice, potrebujeme hodnotu y. Jednoducho pripojte svoju hodnotu x do pôvodnej rovnice pre y. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Teraz použite bodový sklon k nájdeniu rovnice dotyčnice: y-y_0 = m (x-x_0) Kde y_0 = 0, m = -2 a x_0 = pi / 4. To nám dáva: y = -2 (x-pi / 4) Zjednodušenie, y Čítaj viac »

Definitívny integrál nad intervalom [a, b] f je pôvodne definovaný Pre funkciu f, ktorá zahŕňa [a, b] vo svojej oblasti. To znamená, že začíname s funkciou f, ktorá je definovaná pre všetky x v [a, b] Nesprávne integrály rozširujú počiatočnú definíciu tým, že umožňujú, alebo b, alebo obom, aby boli mimo domény f (ale na „okraji“) takže môžeme hľadať limity) alebo pre interval, ktorým chýba ľavý a / alebo pravý koncový bod (nekonečné intervaly). Príklady: int_0 ^ 1 lnx dx farba (biela) "sssssssss Čítaj viac »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Odkazujem na http://socratic.org/questions/how-do-you-find-odivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, kde sme zistili, že dané x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (pre pohodlie som nahradil y u). To znamená, že ak nahradíme u za -y, zistíme, že pre x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), takže (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Čítaj viac »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Máme int root3x / (root3x-1) dx Náhradník u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / Udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / Udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Resubstitute u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (abs (root3x-1)) + C Čítaj viac »

Dy / dx = Csino (cx) cos (x) sin ^ (c-1), (x) + Csino ^ c (x) cos (cx) = Csino (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Pre danú funkciu y = f (x) = uv kde u a v sú obe funkcie x dostaneme: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = Csino (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Čítaj viac »

Keď cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 Máme f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Kritické body sa vyskytujú, keď (delf (x, y)) / (delx) = 0 a (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) hriech (y) hriech ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (XY) + e ^ x (tan (y) -sek ^ 2 (y)) = cos (XY) + e ^ x (tan (y) - (1 + tan ^ 2 (y))) = cos (XY) + e ^ x (-topenia ^ 2 (y) + tan (y) -1) Neexistuje žiadny skutočný spôsob, ako nájsť riešenia, ale kritické bod Čítaj viac »

F (x) = lnx + 1 Rozdelíme nerovnosť na 2 časti: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Pozrime sa na (1) : Usporiadame tak, aby sme dostali f (x)> = lnx + 1 Pozrime sa na (2): Predpokladáme y = x / e a x = ye. Stále spĺňame podmienku y in (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx tak f (y) = f (x). Z 2 výsledkov, f (x) = lnx + 1 Čítaj viac »

Pravidlo výkonu: ak f (x) = x ^ n potom f '(x) = nx ^ (n-1) Pravidlo súčtu: ak f (x) = g (x) + h (x) potom f' (x) = g '(x) + h' (x) Pravidlo výrobku: ak f (x) = g (x) h (x) potom f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Pravidlo citlivosti: ak f (x) = g (x) / (h (x)), potom f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Pravidlo reťazca: ak f (x) = h (g (x)), potom f '(x) = h' (g (x)) g '(x) Alebo: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Viac informácií: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Čítaj viac »

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2 ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Prípad série taylor rozšírený okolo 0 sa nazýva séria Maclaurin. Všeobecný vzorec pre sériu Maclaurin je: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n Ak chcete vypracovať sériu pre našu funkciu, môžeme začať s funkciou pre e ^ x a potom použite na zistenie vzorca pre e ^ (- 2x). Aby sme mohli konštruovať Maclaurinovu sériu, musíme zistiť n-tú deriváciu e ^ x. Ak vezmeme niekoľko derivátov, môžeme pomerne rýchlo vidieť vzor: f (x) = e ^ x f & Čítaj viac »

Únosnosť druhu je maximálna populácia tohto druhu, ktorú môže životné prostredie trvalo udržiavať na základe dostupných zdrojov. Pôsobí ako horná hranica funkcií rastu populácie. Na grafe, za predpokladu, že funkcia populačného rastu je zobrazená s nezávislou premennou (zvyčajne t v prípade rastu populácie) na horizontálnej osi a závislou premennou (populácia, v tomto prípade f (x)) na vertikálnej osi , nosná kapacita bude horizontálna asymptota. V bežnom priebehu udalostí, s vylúčením Čítaj viac »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2 x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x) + C Najprv nahradíme: u = e ^ (2x) +1, e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Vykonať druhá substitúcia: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2vtv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Rozdelenie pomocou čiastkových zlomkov: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = Čítaj viac »