Ako zistíte inflexné body pre y = sin x + cos x?

odpoveď:

Bodom inflexie sú: # ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) #

vysvetlenie:

1 - Najprv musíme nájsť druhú deriváciu našej funkcie.

2 - Po druhé, tento derivát prirovnávame# ((D ^ 2y) / (dx ^ 2)) # na nulu

# y = sinx + cosx #

# => (Dy) / (dx) = cosx-sinx #

# => (D ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx #

Ďalšie, # -Sinx-cosx = 0 #

# => Sinx + cosx = 0 #

Teraz to vyjadríme vo forme #Rcos (x + lambda) #

Kde # # Lambda je len ostrý uhol a # R # je kladné celé číslo, ktoré sa má určiť. Ako toto

# Sinx + cosx = Rcos (x + lambda) #

# => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda #

Porovnaním koeficientov # # Sinx a # # Cosx na každej strane rovnice,

# => Rcoslamda = 1 #

a # Rsinlambda = -1 #

# (Rsinlambda) / (Rcoslambda) = (- 1) / 1 => tanlambda = -1 => lambda = tan ^ -1 (-1) = - pi / 4 #

a # (Rcoslambda) ^ 2 + (Rsinlambda) ^ 2 = (1) ^ 2 + (- 1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2x + sin ^ 2x) = 2 #

Ale poznáme identitu, # Cos ^ 2x + sin ^ 2 = 1 #

Z toho dôvodu, # R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

Stručne, # (D ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx = sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => Sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => Cos (x-pi / 4) = 0 = cos (pi / 2) #

Takže všeobecné riešenie #X# je: # X-pi / 4 = + - pi / 2 + 2kpi #, # # KinZZ

# => X = pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi #

Takže body inflexie budú akékoľvek body, ktoré majú súradnice:

# (pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + -pi / 2-pi / 4) #

Máme dva prípady, ktorými sa môžeme zaoberať, Prípad 1. T

# (pi / 4 + pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + pi / 2-pi / 4)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 2)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) #

Prípad 2

# (pi / 4-pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4-pi / 2-pi / 4)) #

# => (- pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (-pi / 2)) #

# => ((- pi / 2 + 2kpi, 0)) #

Ukážte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Som trochu zmätený, ak urobím Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný ako cos (180 ° -theta) = - costheta v druhý kvadrant. Ako mám ísť na preukázanie otázky?

Pozri nižšie. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Ako zistíte Limit [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] ako x sa blíži 0?

Vykonajte nejaké násobenie konjugátu a zjednodušte si lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 Priama substitúcia produkuje neurčitú formu 0/0, takže budeme musieť vyskúšať niečo iné. Skúste násobiť (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) pomocou (1 + cosx) / (1 + cosx): (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) Táto technika je známa ako konjugované násobenie a funguje takmer vždy. Ide o použitie rozdielu vlastností štvorcov (a-b) (a + b) = a ^

Ako zistíte určitý integrál pre: e ^ sin (x) * cos (x) dx pre intervaly [0, pi / 4]?

Použite u-substitúciu, aby ste získali int_0 ^ (pi / 4) e ^ sinx * cosxdx = e ^ (sqrt (2) / 2) -1. Začneme riešením neurčitého integrálu a potom sa budeme zaoberať hranicami. V inte ^ sinx * cosxdx, máme sinx a jeho deriváciu, cosx. Preto môžeme použiť u-substitúciu. Nech u = sinx -> (du) / dx = cosx-> du = cosxdx. Vykonanie substitúcie, máme: inte ^ udu = e ^ u Konečne, zadná náhrada u = sinx získať konečný výsledok: e ^ sinx Teraz môžeme vyhodnotiť to od 0 do pi / 4: [e ^ sinx] _0 ^ ( pi / 4) = (e ^ sin (pi / 4) -e ^ 0) = e ^ (sqrt