Čo je integrál int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

odpoveď:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2 x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

vysvetlenie:

Najprv nahradíme:

# U = e ^ (2 x), 1, e ^ (2 x) = u-1 #

# (Du) / (dx) = 2e ^ (2x), dx = (du) / (2e ^ (2 x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2 x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Vykonať druhú substitúciu:

# V ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1, du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = INT1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

Rozdeliť pomocou čiastkových zlomkov:

# 1 / ((v + 1) (V-1)) = A / (v + 1) + B / (V-1) #

# 1 = A (V-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# V = -1 #:

# 1 = -2a #, # A = -1/2 #

Teraz máme:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (V-1)) #

# INT1 + 1 / ((v + 1) (V-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (V-1)) dv = 1/2 -ln (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

Nahradenie späť # V = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (u) 1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) + C #

Nahradenie späť # U = 1 + e ^ (2 x) #

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2 x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #