Aké sú lokálne maximá a minimá f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

odpoveď:

# F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Táto funkcia má vertikálnu asymptotu na # X = 2 #, prístupy #1# zhora ako x # + oo # (horizontálne asymptoty) a prístupy #1# zdola ako x # -oo #, Všetky deriváty sú nedefinované # X = 2 # tiež. Tam je jedna miestna minima na # X = 0 #, # Y = 0 # (Všetky tie problémy pre pôvod!)

Všimnite si, že budete chcieť skontrolovať moju matematiku, dokonca aj tá najlepšia z nás zanechá nepárne záporné znamienko a toto je dlhá otázka.

vysvetlenie:

# F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Táto funkcia má vertikálnu asymptotu na # X = 2 #, pretože menovateľ je nula, keď. t # X = 2 #.

Priblíži sa #1# zhora ako x # + oo # (horizontálne asymptoty) a prístupy #1# zdola ako x # -oo #, pretože pre veľké hodnoty # X ^ 2 ~ = (x 2) ^ 2 # s # X ^ 2> (X-2) ^ 2 # pre #X> 0 # a # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # pre #X <0 #.

Na zistenie max / min potrebujeme prvý a druhý derivát.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Použite pravidlo kvocientu!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Použitie pravidla pre právomoci a pravidlo reťazca dostaneme:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Teraz sme trochu upravení …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Teraz druhý derivát, ako prvý.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Je to škaredé, ale potrebujeme len pripojiť a všimnúť si, kde sa zle správalo.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Táto funkcia nie je definovaná na # X = 2 #, že asymptote, ale vyzerá dobre všade inde.

Chceme vedieť, že max / min sú …

nastavili sme # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # toto je nula, keď je čitateľ nula a ak menovateľ nie je.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # alebo # 4x (2-x) = 0 # Toto je nula na # X = 0 # a # X = 2 #, ale nemôžeme mať max / min boli derivácie / funkcie nedefinované, takže jedinou možnosťou je # X = 0 #.

"druhý derivačný test"

Teraz sa pozrieme na druhú deriváciu, škaredú, ako to je …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (X-2) ^ 8 #

Podobne ako funkcia a aj prvá derivácia je nedefinovaná # X = 2 #, ale vyzerá dobre všade inde.

Zapájame # X = 0 # do # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, Nie je nula tak krásne číslo pripojiť?

#=128/256# to všetko #1/2#

#1/2 >0# tak # X = 0 # je miestne minimá.

Ak chcete nájsť hodnotu y, musíme ju zapojiť do funkcie.

# F (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Pôvod!