Lim_ (x-> 0) hriech (1 / x) / (hriech (1 / x))?

odpoveď:

# lim_ (x rarr 0) hriech (1 / x) / (hriech (1 / x)) = 1 #

vysvetlenie:

hľadáme:

# L = lim_ (x rarr 0) h (1 / x) / (hriech (1 / x)) #

Keď vyhodnotíme limit, pozeráme sa na správanie sa funkcie „v blízkosti“ bodu, nie nevyhnutne na správanie sa funkcie „na“ predmetnom bode, teda ako #x rarr 0 #, v žiadnom prípade nepotrebujeme uvažovať o tom, čo sa deje # X = 0 #, Tak získame triviálny výsledok:

# L = lim_ (x rarr 0) h (1 / x) / (hriech (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Pre prehľadnosť graf funkcie vizualizovať správanie okolo # X = 0 #

graf {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Malo by sa objasniť, že táto funkcia # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # je nedefinované na # X = 0 #

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Definície limitu funkcie, ktorú používam, sú ekvivalentné:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # ak a len pre každé pozitívne # Epsilon #, je pozitívny # Delta # také, že pre každého #X#, ak # 0 <abs (x-a) <delta # potom #abs (f (x) - L) <epsilon #

Kvôli významu "#abs (f (x) - L) <epsilon #", to vyžaduje, aby pre všetkých." #X# s # 0 <abs (x-a) <delta #, # F (x) # je definovaný.

To znamená pre požadované # Delta #, všetci z # (A-delta, a + delta) # okrem prípadu # A #, leží v oblasti # F #.

To všetko nás dostane:

#lim_ (xrarra) f (x) # existuje iba vtedy, ak # F # je definovaný v niektorých otvorených intervaloch obsahujúcich # A #, s výnimkou snáď na # A #.

(# F # musí byť definované v niektorých odstránených otvorených susedstvách # A #)

Z tohto dôvodu #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # neexistuje.

Takmer triviálny príklad

#f (x) = 1 # pre #X# iracionálne reálne (nedefinované pre racionálne)

#lim_ (xrarr0) f (x) # neexistuje.