Ako zistíte deriváciu tan (x - y) = x?

odpoveď:

# (Dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

vysvetlenie:

Predpokladám, že chcete nájsť # (Dy) / (dx) #, Na to najprv potrebujeme vyjadrenie # Y # z hľadiska #X#, Uvedomujeme si, že tento problém má rôzne riešenia, pretože #tan (x) # je periodická funkcia, #tan (x-y) = x # bude mať viacero riešení. Keďže však poznáme obdobie funkcie dotyčnice (# # Pi), môžeme urobiť nasledovné: # X-y = tan ^ (- 1) x + NPI #, kde #tan ^ (- 1) # je inverzná funkcia dotyčnice udávajúcej hodnoty medzi # -Pi / 2 # a # Pi / 2 # a faktor # # NPI bol pridaný, aby sa zohľadnila periodicita dotyčnice.

To nám dáva # Y = x-tan ^ (- 1) x-NPI #, preto # (Dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, všimnite si, že faktor # # NPI zmizol. Teraz musíme nájsť # D / (dx) tan ^ (- 1) x #, To je dosť zložité, ale uskutočniteľné pomocou reverznej funkčnej vety.

nastavenie # U = tan ^ (- 1) x #, máme # X = nu = Sinu / Prevádzková jednotka centrálnej ústredne #, takže # (Dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2U) / cos ^ 2U = 1 / cos ^ 2u #pomocou pravidla kvocientu a niektorých trigonometrických identít. Pomocou inverznej funkčnej vety (ktorá uvádza, že ak # (Dx) / (du) # je spojitá a nenulová, máme # (Du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), máme # (Du) / (dx) = cos ^ 2u #, Teraz musíme vyjadriť # Cos ^ 2u # z hľadiska x.

Na tento účel používame nejakú trigonometriu. Vzhľadom k pravému trojuholníku so stranami # A, b, c # kde # C # je prepona a # A, b # pripojený do pravého uhla. ak # U # je uhol, kde strana # C # pretína stranu # A #, máme # X = nu = b / a #, So symbolmi # A, b, c # v rovniciach označujeme dĺžku týchto hrán. Prevádzková jednotka centrálnej ústredne # = A / C # a pomocou Pythagorovho teorému nájdeme # C = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #, To dáva Prevádzková jednotka centrálnej ústredne # = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, takže # (Du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

od tej doby # U = tan ^ (- 1) x #, môžeme nahradiť toto do našej rovnice # (Dy) / (dx) # a nájsť # (Dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.