Aké sú lokálne extrémy f (x) = xlnx-xe ^ x?

odpoveď:

Táto funkcia nemá žiadne lokálne extrémy.

vysvetlenie:

#f (x) = xlnx-xe ^ x znamená #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

pre #X# byť miestnym extrémom, #G (x) # musí byť nula. Teraz ukážeme, že k tomu nedochádza pre žiadnu skutočnú hodnotu #X#.

Poznač si to

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

teda #G ^ '(x) # zmizne, ak

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Toto je transcendentálna rovnica, ktorú možno numericky vyriešiť. od tej doby #g ^ '(0) = + oo # a #G ^ '(1) = 1-3e <0 #, koreň leží medzi 0 a 1. A pretože #g ^ {''} (0) <0 # pre všetkých pozitívnych #X#, toto je jediný koreň a zodpovedá maximu pre #G (x) #

Je pomerne ľahké vyriešiť rovnicu numericky a to ukazuje #G (x) # má maximum na # X = 0,3152 # a maximálna hodnota je #g (0.3152) = -1.957 #, Vzhľadom k maximálnej hodnote #G (x) # je záporná, neexistuje žiadna hodnota #X# na ktorom #G (x) # mizne.

Môže byť poučné pozrieť sa na to graficky:

graf {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Ako môžete vidieť na grafe vyššie, funkcia # F (x) # v skutočnosti má maximum na # X = 0 # - ale toto nie je lokálne maximum. Nižšie uvedený graf to ukazuje #g (x) equiv f ^ '(x) # nikdy nenosí hodnotu nula.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}