odpoveď:
#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #
vysvetlenie:
Náš veľký problém v tomto integrále je koreň, takže sa ho chceme zbaviť. Môžeme to urobiť zavedením substitúcie # U = sqrt (2x-1) #, Derivát je potom
# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #
Takže sa delíme (a pamätajte si, že delenie recipročným je rovnaké ako násobenie len menovateľom), aby sa integrovalo s ohľadom na # U #:
#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / zrušiť (sqrt (2x-1)) zrušiť (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1 # #
Teraz všetko, čo potrebujeme urobiť, je vyjadriť # X ^ 2 # z hľadiska # U # (pretože sa nemôžete integrovať #X# vzhľadom na. t # U #):
# U = sqrt (2x-1) #
# U ^ 2 = 2x-1 #
# U ^ 2 + 1 = 2x #
# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #
# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #
Môžeme ho pripojiť späť do nášho integrálu, aby sme získali:
#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1
Toto možno vyhodnotiť pomocou pravidla spätného výkonu:
# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + U / 4-u + C #
Náhrada za # U = sqrt (2x-1) #, dostaneme:
# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #
