Ako integrujete f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) s použitím parciálnych zlomkov?

odpoveď:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

vysvetlenie:

Keďže menovateľ je už započítaný, všetko, čo potrebujeme urobiť, je vyriešiť konštanty:

# (3 x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (X-3), (X-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (X-3) + D / (X-7) #

Všimnite si, že potrebujeme oboje #X# a konštantný termín vľavo najviac zlomok, pretože čitateľ je vždy o 1 stupeň nižší ako menovateľ.

Mohli by sme sa množiť prostredníctvom menovateľa na ľavej strane, ale to by bolo obrovské množstvo práce, takže môžeme namiesto toho byť inteligentní a použiť metódu krytia.

Nebudem sa podrobne zaoberať procesom, ale v podstate to, čo robíme, je zistiť, čo robí menovateľa nulovým (v prípade # C # to je # X = 3 #) a zasunutím na ľavú stranu a vyhodnotením pri súčasnom zakrytí faktora zodpovedajúceho konštante to dáva:

# C = (3 (3), ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (text (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Môžeme urobiť to isté pre # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (text (////))) = 35/51 #

Metóda krytia funguje len pre lineárne faktory, takže sme nútení vyriešiť problém # A # a # B # tradičnou metódou a násobením menovateľom na ľavej strane:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (X-3), (X-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (X-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Ak sa množíme cez všetky zátvorky a porovnávame všetky koeficienty rôznych #X# a konštantné termíny, môžeme zistiť hodnoty # A # a # B #, Ide o pomerne zdĺhavý výpočet, takže nechám odkaz pre každého, kto má záujem:

kliknite tu

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

To dáva náš integrál:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Prvé dve možno vyriešiť pomocou jednoduchých substitúcií menovateľov:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2)

Zostávajúci integrál môžeme rozdeliť na dva:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int 79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2) 2 + 2) dx #

Zavolám ľavý Integral 1 a pravý Integral 2.

Integrálne 1

Tento integrál môžeme vyriešiť u-substitúciou # U = x ^ 2 + 2 #, Derivát je # # 2x, takže sa delíme # # 2x integrovať s ohľadom na # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int zrušiť (x) / (2cancel (x) u) d = 79 / 2in 1 / u = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integrálne 2

Chceme dostať tento integrál do formy # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) d = tan ^ -1 (t) + C #

Ak predstavíme substitúciu pomocou # X = sqrt2u #, budeme schopní transformovať náš integrál do tejto formy. Integrovať s ohľadom na # U #, musíme sa množiť # # Sqrt2 (pretože sme vzali deriváciu s ohľadom na # U # namiesto #X#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) = =

1 = (2u ^ 2 + 2) 1 = (2u ^ 2 + 2) 1 = (u ^ 2 + 1)

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Vyplnenie pôvodného integrálu

Teraz, keď vieme, čo je Integral 1 a Integral 2 rovnaké, môžeme dokončiť pôvodný integrál, aby sme získali našu konečnú odpoveď:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Ako integrujete int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) s použitím parciálnych zlomkov?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Musíme nájsť A, B, C tak, že 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) pre všetky x. Vynásobte obe strany pomocou x ^ 2 (2x-1), čím získate 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Rovnocenné koeficienty udávajú {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} A tak máme A = -2, B = 1, C = 4. Nahradením v počiatočnej rovnici dostaneme 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Teraz ho začlime termínom int t (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx pre získanie 2ln | 2

Ako integrujete int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) pomocou parciálnych zlomkov?

Je potrebné rozložiť (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ako čiastočnú frakciu. Hľadáte a, b, cv RR tak, že (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Ukážem vám, ako nájsť len, pretože b a c sa nachádzajú presne rovnakým spôsobom. Vynásobíte obidve strany pomocou x + 3, čo spôsobí, že zmizne z menovateľa ľavej strany a zobrazí sa vedľa b a c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Vyhodnotíte to na x-3, ab

Ako integrujete int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) s použitím parciálnych zlomkov?

Int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + C int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = int (-1/56 (1 / (x + 1) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7))) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + farba C (biela) () Odkiaľ pochádzajú tieto koeficienty? (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) môže vypočítať a, b, c pomocou metódy Heavisideho zakrytia: a = (1-2 (farba (modrá) (- 1)) ^ 2) / (farba (červená) (zrušenie (farba (čierna) (((((farba (farba) ( modrá) (- 1) + 1)))