Nech f (x) = (x + 2) / (x + 3). Nájdite rovnicu (y) dotyčnice (y), ktoré prechádzajú bodom (0,6)? Načrtnite riešenie?

odpoveď:

Tangenty sú # 25x-9Y + 54 = 0 # a # Y = x + 6 #

vysvetlenie:

Nech je sklon tangenty # M #, Rovnica tangens potom je # Y-6 = mx # alebo # Y = mx + 6 #

Pozrime sa teraz na bod priesečníka tejto dotyčnice a danej krivky # Y = (x + 2) / (x + 3) #, Pre toto uvedenie # Y = mx + 6 # v tom dostaneme

# Mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # alebo # (Mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

tj. # Mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

alebo # Mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

To by malo poskytnúť dve hodnoty #X# t. j. dva priesečníky, ale dotyčnica prechádza krivkou iba v jednom bode. Preto ak # Y = mx + 6 # je dotyčnica, mali by sme mať iba jeden koreň pre kvadratickú rovnicu, ktorá je možná, ak je diskriminačná #0# tj.

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

alebo # 9 m ^ 2 + 30 m + 25 až 64 m = 0 #

alebo # 9 m ^ 2 až 34 m + 25 = 0 #

tj. # M = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

tj. #25/9# alebo #1#

a teda tangenty # Y = 25/9 x + 6 # tj. # 25x-9Y + 54 = 0 #

a # Y = x + 6 #

graf {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12,58, 7,42, -3,16, 6,84}