odpoveď:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
vysvetlenie:
Aby tento problém dával zmysel # 4-9x ^ 2> = 0 #, takže # -2/3 <= x <= 2/3 #, Preto si môžeme vybrať # 0 <= u <= pi # takýmto spôsobom # X = 2 / 3cosu #, Pomocou tohto môžeme premennú x v integrále použiť # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # tu to používame # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # a to pre # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Teraz nájdeme integráciu podľa jednotlivých častí # Intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #, teda # Intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Tak sme našli #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, teraz nahrádzame #X# späť # U #, použitím # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, takže #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Toto môžeme ďalej zjednodušiť pomocou definície sínusov a kosínusov z hľadiska trojuholníkov. Pre pravouhlý trojuholník s uhlom # U # v jednom z pravých rohov, # sinu = "opačná strana" / "najdlhšia strana" #, zatiaľ čo # cosu = "priľahlá strana" / "najdlhšia strana" #, pretože vieme Prevádzková jednotka centrálnej ústredne # = (3x) / 2 #, môžeme vybrať susednú stranu, ktorá má byť # # 3x a najdlhšia strana #2#, Pomocou Pytagorovej teorémy nájdeme opačnú stranu #sqrt (4-9x ^ 2) #, takže #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = Sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #, teda #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
