Aké sú lokálne extrémy f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13?

odpoveď:

Miestne maximum je # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Miestne minimum je # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

vysvetlenie:

Na nájdenie lokálnych extrémov môžeme použiť prvý derivátový test. Vieme, že pri lokálnom extréme sa prinajmenšom rovná prvá derivácia funkcie rovná nule. Vezmime teda prvú deriváciu a nastavíme ju na hodnotu 0 a vyriešime x.

#f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

#f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Túto rovnosť možno ľahko vyriešiť pomocou kvadratického vzorca. V našom prípade #a = -3 #, #b = 6 # a # C = 10 #

Kvadratický vzorec uvádza:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Ak zapojíme naše hodnoty do kvadratického vzorca, dostaneme

#x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt (13/3) #

Teraz, keď máme hodnoty x, kde sú lokálne extrémy, pripojme ich späť do našej pôvodnej rovnice, aby sme získali:

#f (1 + sqrt (13/3)) = 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 # a

#f (1 - sqrt (13/3)) = 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #