Aké sú lokálne extrémy f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

odpoveď:

#(0.14414, 0.05271)# je lokálne maximum

#(1.45035, 0.00119)# a #(-1.59449, -1947.21451)# sú miestne minimá.

vysvetlenie:

# F (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7 krát) #

# Dy / dx = x (3 x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7 krát) + e ^ (x ^ 3-7 krát) = e ^ (x ^ 3-7 krát) (3 x ^ 3-7 krát + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Toto sa nekvalifikuje ako lokálny extrém.

# 3x ^ 3-7 krát + 1 = 0 #

Na riešenie koreňov tejto kubickej funkcie používame Newton-Raphsonovu metódu:

#x_ (n + 1) = X_n-f (X_X) / (f '(X_n)) #

Ide o iteratívny proces, ktorý nás zavedie bližšie ku koreňu funkcie. Nepatrím sem zdĺhavý proces, ale keď sme prišli k prvému koreňu, môžeme vykonať dlhé rozdelenie a vyriešiť zostávajúce kvadratické ľahko pre ostatné dva korene.

Dostaneme nasledujúce korene:

# x = 0.14414, 1.45035 a -1.59449 #

Teraz vykonáme prvý derivačný test a vyskúšame hodnoty vľavo a vpravo od každého koreňa, aby sme videli, kde je derivát pozitívny alebo negatívny.

To nám povie, ktorý bod je maximum a ktorý minimum.

Výsledok bude takýto:

#(0.14414, 0.05271)# je lokálne maximum

#(1.45035, 0.00119)# a #(-1.59449, -1947.21451)# sú miestne minimá.

V grafe nižšie môžete vidieť jedno z minimálnych hodnôt:

Nasledujúce zobrazenie zobrazuje maximálne a ostatné minimum: