Počet

V učebnici, ktorú používam (Stewartova kalkulačka) kritický bod f = kritické číslo pre f = hodnotu x (nezávislá premenná), ktorá je 1) v doméne f, kde f 'je buď 0 alebo neexistuje. (Hodnoty x, ktoré spĺňajú podmienky Fermatovej vety.) Inflexný bod pre f je bod na grafe (má súradnice x aj y), pri ktorom sa mení konkávnosť. (Zdá sa, že iní ľudia používajú inú terminológiu. Neviem f, že jedli omylom alebo majú len inú terminológiu .. Ale učebnice, ktoré som používal v USA od začiatku Čítaj viac »

Povedal by som, že funkcia je diskontinuálna v prípade, že je spojitá blízko (v otvorenom intervale obsahujúcom a), ale nie v a. Existujú však aj ďalšie definície. Funkcia f je spojitá pri čísle a ak a iba ak: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Toto vyžaduje, aby: 1 "f (a) existovalo." (a je v oblasti f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) musí existovať 3 Čísla v 1 a 2 musia byť rovnaké. V najobecnejšom zmysle: Ak f nie je spojité a, potom f je diskontinuálne v a. Niektorí potom povedia, že f je diskontinuálne v prípade, že f nie je kon Čítaj viac »

Pi / 4 Dĺžka oblúka f (x), xv [ab] je daná vzťahom: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Keďže práve máme y = 0, môžeme si vziať dĺžku priamky s medzi 0 až pi / 4, ktorá je pi / 4- 0 = pi / 4 Čítaj viac »

Je to (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Metóda f (x) = sin ^ 7 (x) Je veľmi užitočné prepísať to ako f (x) = (sin (x)) ^ 7 pretože to dáva jasne najavo, že máme mocenskú funkciu 7 ^ (th). Použite mocenské pravidlo a pravidlo reťazca (Táto kombinácia sa často nazýva všeobecné pravidlo moci.) Pre f (x) = (g (x)) ^ n je derivácia f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), V inej notácii d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) V každom prípade pre vašu otázku f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Môžete napísať f' (x) = 7sin ^ 6 (x) Čítaj viac »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Vieme, že int1 / xdx = lnx + C, takže: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Preto f (f) x) = ln (x + 3) + C. Dostali sme počiatočnú podmienku f (2) = 1. Vykonaním potrebných substitúcií máme: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Teraz môžeme prepísať f (x) ako f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5 a to je naša posledná odpoveď. Ak chcete, môžete použiť nasledujúcu prirodzenú vlastnosť protokolu na zjednodušenie: lna-lnb = ln (a / b) Použitím tohto ln (x + 3) -ln5 dostaneme ln ((x + 3) / 5) tak môžeme ďalej vyjad Čítaj viac »

Ln (x / 2) +1> Derivácia lnx = 1 / x, preto anti-derivácia 1 / x "je" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Ak chcete nájsť c, použite f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 pomocou • lnx-lny = ln (x / y) "na zjednodušenie" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) 1 Čítaj viac »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Integrácia f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 umožňuje konštantu integrácie ( c) zistením pre x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Čítaj viac »

Našiel som: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Riešime neurčitý integrál: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c a potom použijeme našu podmienku na nájdenie c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c tak: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 a finálne: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Čítaj viac »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing v 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Keďže f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Čítaj viac »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 používame integráciu podľa častí f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx v tomto prípade u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Čítaj viac »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Použite u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Zadanie u = sqrt (1 + x ^ 2) späť do: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) 1)) + 1 / 2ln (abs ( Čítaj viac »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0.0768 ^ c) Pre danú množinu súradníc (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Čítaj viac »

To nie je možné odpovedať bez kontextu. Tu sú niektoré z použitia v matematike. Súprava má nekonečnú mohutnosť, ak ju možno namapovať jeden na jedného na vlastnú podmnožinu. Toto nie je použitie nekonečna v počte. V kalkulu používame "nekonečno" 3 spôsobmi. Intervalová notácia: Symboly oo (resp. -Oo) sa používajú na označenie, že interval nemá pravý (resp. Ľavý) koncový bod. Interval (2, oo) je rovnaký ako množina x Infinite Limits Ak limit neexistuje, pretože ako x sa približuje, hodnoty f (x) sa zvyšujú bez v Čítaj viac »

Okamžitá rýchlosť je rýchlosť, ktorou sa objekt pohybuje v presne určenom okamihu. Ak idem na sever presne na 10 m / s presne desať sekúnd, potom sa otočím na západ a presne sa vydáme na ďalších 5 sekúnd presne 5 m / s, moja priemerná rýchlosť je zhruba 5,59 m / s v (zhruba) severozápadnom smere. Moja okamžitá rýchlosť je však moja rýchlosť v ktoromkoľvek danom bode: presne päť sekúnd do mojej cesty je moja okamžitá rýchlosť 10 m / s na sever; presne o pätnásť sekúnd, je to 5 m na západ. Čítaj viac »

Rozdeľme interval [a, b] na n subintervaly rovnakej dĺžky. [a, b] až {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, kde a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Definitívny integrál int_a ^ bf (x) dx môžeme priradiť Trapezoidovým pravidlom T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Čítaj viac »

Pravidlo L'hopital sa používa primárne na nájdenie limitu ako x-> a funkcie formy f (x) / g (x), keď limity f a g na a sú také, že f (a) / g a) má za následok neurčitú formu, napríklad 0/0 alebo oo / oo. V takýchto prípadoch je možné vziať limit derivátov týchto funkcií ako x-> a. Tak by sa dalo vypočítať lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), ktoré sa bude rovnať limitu počiatočnej funkcie. Ako príklad funkcie, kde to môže byť užitočné, zvážte funkciu sin (x) / x. V tomto prípade f (x) = sin (x), g Čítaj viac »

L'Hopitalovo pravidlo Ak {(lim_ {x to a} f (x) = 0 a lim_ {x až a} g (x) = 0), (alebo), (lim_ {x to a} f (x) = = pm infty a lim_ {x to a} g (x) = pm infty):} potom lim_ {x a a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x až a} {f '( x)} / {g '(x)}. Príklad 1 (0/0) lim_ {x až 0} {sinx} / x = lim_ {x až 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Príklad 2 (infty / infty) lim_ {x na infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = Dúfam, že to bolo užitočné. Čítaj viac »

X = -4 a -8/5 Vertikálna asymptota je čiara, ktorá sa tiahne vertikálne do nekonečna. Ak si všimneme, znamená to, že súradnica y krivky dosahuje nekonečno. Vieme, že nekonečno = 1/0 Takže v porovnaní s f (x) to znamená, že menovateľ f (x) by mal byť nula. Preto (5x + 8) (x + 4) = 0 Toto je kvadratická rovnica, ktorej korene sú -4 a -8/5. Preto pri x = -4, -8/5 máme vertikálne asymptoty Čítaj viac »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Derivácia sek (x) je sek (x) tan (x). Keďže však uhol je 5x a nie len x, použijeme pravidlo reťazca. Tak sa opäť násobíme derivátom 5x, čo je 5. Toto nám dáva našu konečnú odpoveď ako sec (5x) tan (5x) * 5 Dúfam, že to pomohlo! Čítaj viac »

Ak dávate prednosť notácii Leibniz, druhá derivácia je označená (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Príklad: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Ak sa vám páči notácia prvočísel, potom druhá derivácia je označená dvoma prvkami, na rozdiel od jednej značky s prvou značkou derivácie: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Podobne, ak je funkcia vo funkcii notácie: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Most ľudia poznajú obidve notácie, takže zvyčajne nezáleží na tom, ktorý zápis si vyberiete, pokiaľ ľudia môž Čítaj viac »

Racionálna funkcia je tam, kde sú pod zlomkovou čiarou x. Časť pod barom sa nazýva menovateľ. To dáva obmedzenia na doménu x, pretože menovateľ nemusí fungovať tak, aby bol 0 Jednoduchý príklad: y = 1 / x doména: x! = 0 Toto tiež definuje vertikálnu asymptotu x = 0, pretože x môžete vykonať ako blízku na 0, ako chcete, ale nikdy ho nedosiahnete. Je to rozdiel, či sa pohybujete smerom k 0 z pozitívnej strany od negatívu (pozri graf). Hovoríme lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo a lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Takže existuje graf nespojitosti {1 / x [-16.02, 16. Čítaj viac »

F '(x) = 72x-18 Všeobecne platí, že pravidlo výrobku uvádza, že ak f (x) = g (x) h (x) s g (x) a h (x) niektoré funkcie x, potom f' ( x) = g '(h x) h (x) + g (x)' (x). V tomto prípade g (x) = 6x-4 a h (x) = 6x + 1, takže g '(x) = 6 a h' (x) = 6. Preto f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Môžeme to skontrolovať tak, že najprv vypracujeme produkt g a h a potom ich odlíšime. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, takže f '(x) = 72x-18. Čítaj viac »

Absolútne extrémy funkcie v uzavretom intervale [a, b] môžu byť alebo lokálne extrémy v tomto intervale alebo body, ktorých ascissae sú a alebo b. Nájdime teda lokálne extrémy: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, ak -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 = 1rArr-1 <= x <= 1. Takže naša funkcia klesá v [-2, -1) a v (1,2) a rastie v (-1,1), takže bod A (-1-1) je lokálne minimum a bod B (1,1) je lokálne maximum, teraz nájdeme súradnicu bodov v extréme intervalu: y (-2) = - 4 / Čítaj viac »

Minimálny bod pri (1 / e, -1 / e) dané f (x) = x * ln x získa prvý derivát f '(x) a potom sa rovná nule. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Riešenie pre f (x) v x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e, takže bod (1 / e -1 / e) sa nachádza na štvrtom kvadrante, čo je minimálny bod. Čítaj viac »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Prepíšme ho ako: [(xln (x ^ 4)] ^ (1/2)] 'Teraz musíme odvodiť z zvonku smerom dovnútra pomocou pravidla reťaze. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Tu máme deriváciu produktu 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Len pomocou základnej algebry získate semplifikovanú verziu: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] A dostaneme riešenie: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Mimochodom, môžete dokonca prep Čítaj viac »

Funkcia vzdialenosti je: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Poďme s tým manipulovať. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Keďže antiderivát je v podstate neurčitý integrál, toto sa stáva nekonečným súčtom nekonečne malých dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx čo sa stane byť vzorcom pre dĺžku oblúka akejkoľvek funkcie, ktorú môžete po manipulácii ľahko integrovať. Čítaj viac »

Považujem to za jednoduchšie myslieť na to, že sa najprv pozerám na derivát. Čo by znamenalo, čo by po diferenciácii malo za následok konštantu? Samozrejme, premenná prvého stupňa. Napríklad, ak vaša diferenciácia vyústila do f '(x) = 5, je zrejmé, že antiderivatívum je F (x) = 5x Takže antiderivácia konštanty je časom danej premennej (byť x, y, atď.) .) Mohli by sme to dať takto, matematicky: intcdx <=> cx Všimnite si, že c je mutiplying 1 v integrále: intcolor (zelená) (1) * cdx <=> cx To znamená, že premenná prvého stupň Čítaj viac »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) jednotky. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength je daný: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Zjednodušiť: L = 3 / 4int-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Zo symetrie: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Použiť substitúciu theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Toto je známy integrál: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Obrátenie substitúcie: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Vložte limity Čítaj viac »

Cca 27.879 Toto je metóda osnovy. Brúsenie niektorých prác bolo vykonané počítačom. Dĺžka oblúka s = int dot s dt a tečka s = sqrt (vec v * vec v) Teraz, pre vec r = 4 theta t hat r + 4 theta dot theta hat theta = 4 bod theta (hat r + theta hat theta) Takže bodka s = 4 bodka theta sqrt (1 + theta ^ 2) Dĺžka oblúka s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) bod theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) počítačového riešenia + sinh ^ (- 1) theta] (- pi / 4) ^ (pi). Pozri Youtube prepojené tu pre metódu cca 2 Čítaj viac »

Dĺžka oblúka ~ ~ 2.42533 (5dp) Dĺžka oblúka je záporná, pretože dolná hranica 1 je väčšia ako horná hranica ln2. Máme parametrickú vektorovú funkciu, ktorá je daná: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Na výpočet dĺžky oblúka budeme potrebovať vektorovú deriváciu, ktorú môžeme vypočítať pomocou pravidla produktu: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t Čítaj viac »

Sqrt (3) Hľadáme dĺžku oblúka vektorovej funkcie: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> pre t v [1,2] Ktoré môžeme ľahko vyhodnotiť pomocou: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Takže vypočítame deriváciu, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Takto získame dĺžku oblúka: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) d = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Tento triviálny výsledok by nemal byť prekvapením, pretože daná pôvodná rov Čítaj viac »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Aby sme mohli vypočítať tento objem, v istom zmysle ho rozrezáme na (nekonečne tenké) rezy. Predstavujeme si región, aby sme nám s tým pomohli, uzavrel som graf, kde oblasť je časťou pod krivkou. Poznamenávame, že y = x ^ 2-1 prechádza čiarou x = 5, kde y = 24 a že prechádza čiarou y = 0, kde x = 1 graf {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Pri rezaní tejto oblasti v horizontálnych rezoch s výškou dy (veľmi malá výška). Dĺžka týchto rezov veľmi závisí od súradnice y. pre výpočet tejto d Čítaj viac »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Vynásobte kocku root v zátvorkách, dostaneme y = (t ^ (2 + 1) / 3)) + 4 * t ^ (1/3) To nám dáva y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Pri rozlišovaní dostávame dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Čo udáva dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Čítaj viac »

98 Priemerná hodnota f na [a, b] je 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Pre tento problém je to 1 / (10-0) int0O10o (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _010 = 1/10 [980] = 98. Čítaj viac »

Priemerná hodnota je 4948/5 = 989,6 Priemerná hodnota f na intervale [a, b] je 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Tak dostaneme: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Čítaj viac »

1 / 2sin (2), približne 0,4546487 Priemerná hodnota c funkcie f na intervale [a, b] je daná vzťahom: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Toto sa premieta do priemeru hodnota: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Použime substitúciu u = x / 2. To znamená, že du = 1 / 2dx. Môžeme potom prepísať integrál ako taký: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Rozdelenie 1 / 4 do 1/2 * 1/2 umožňuje 1 / 2dx byť prítomný v integrále, takže môžeme ľahko vykonať substitúciu 1 / 2dx = du. Musíme tiež zmeniť hranice d Čítaj viac »

Priemerná hodnota je 16/3 Priemerná hodnota funkcie f na intervale [a, b] je 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Takže hľadaná hodnota je 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Čítaj viac »

Je to (4 (sqrt2-1)) / pi Priemerná hodnota funkcie f na intervale [a, b] je 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Takže hľadaná hodnota je 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [sekx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sek (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Čítaj viac »

Priemerná hodnota f na [a, b} je 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Pre túto funkciu na tomto intervale dostávam -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Čítaj viac »

Pozri nižšie. Priemerná hodnota je 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantická poznámka (12sqrtpi) / pi nemá racionálny menovateľ. Čítaj viac »

Vezmite integrálny int_1 ^ ooxe ^ -xdx, ktorý je konečný, a všimnite si, že hranica sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Preto je konvergentná, takže sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) je tiež. Formálne vyhlásenie o integrálnom teste uvádza, že ak fin [0, oo) pravotočivý RR je monotónna klesajúca funkcia, ktorá je nezáporná. Potom súčet sum_ (n = 0) ^ oof (n) je konvergentný, ak a len ak "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx je konečný. (Tau, Terence. Analýza I, druhé vydanie. Hindustan book agency. 2009). Toto vyhlásenie sa m& Čítaj viac »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Definíciu derivácie funkcie f (x) v bode c možno zapísať: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h V našom prípade môžeme vidieť, že máme (3 + h) ^ 3, takže môžeme odhadnúť, že funkcia je x ^ 3, a že c = 3. Túto hypotézu môžeme overiť, ak napíšeme 27 ako 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Vidíme, že ak c = 3, dostaneme: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h A môžeme vidieť, že funkcia je len hodnota v oboch prípadoch je kocka, takže funkcia musí byť f (x) = x ^ 3: lim_ Čítaj viac »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Vieme: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Znamená to, že limit môžeme prepísať takto: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Berúc do úvahy definíciu derivácie funkcie f (x) v bode c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Primeraný odhad je, že c = pi / 6, a pomocou neho môžeme vidieť, že vstupy do funkcie kosínus sa zhodujú so vstupmi do f (x) v definícii: lim_ (h- > 0) (cos (farba (červená) (c + h)) - cos (farba (červená) (c)) / h To znamená, že ak c = pi / 6, potom f (x) = cos (x ). Čítaj viac »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Najprv môžeme rozdeliť zlomok na dva: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Teraz môžeme použiť nasledujúcu identitu: 1 / sin (theta) = csc (theta) int sc ^ 2 (x) dx-x Vieme, že derivácia postieľky (x) je -csc ^ 2 (x), takže môžeme pridať znamienko mínus ako vonku, tak aj vnútri integrálu (takže sa zrušia), aby sa to vypracovalo: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Čítaj viac »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Poznáme definíciu pre sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Pretože vieme, že Maclaurinova séria pre e ^ x, môžeme ju použiť na konštruovať jeden pre sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Môžeme nájsť sériu pre e ^ - x nahradením x znakom -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Tieto dva od seba môžeme odpočítať, aby sme našli čitateľ definície hriechu: farba (biela) (- e ^ -x.) e ^ x = farbu (biela) (....) 1 + x + x ^ 2/ Čítaj viac »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] farba (biela) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] farba (biela) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) farba (biela) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) farba (biela) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Čítaj viac »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Musíte použiť pravidlo reťazca. Pripomeňme si, že vzorec pre toto je: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Myšlienka je, že najprv vezmete deriváciu najvzdialenejšej funkcie a potom len pracujete vnútri. Než začneme, pozrime sa na všetky naše funkcie v tomto výraze. Máme: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) je najvzdialenejšia funkcia, takže začneme tým, že si z toho vezmeme deriváciu. Takže: dy / dx = farba (modrá) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Všimnite si, že to stále zachovávame ((3x) / 4). Pamät Čítaj viac »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Začneme u-substitúciou u = ln (x). Potom sa delíme deriváciou u na integráciu s ohľadom na u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u teraz musíme vyriešiť pre x v zmysle u: u = ln (x) x = e ^ u int x x x u u = int ^ u * (e ^ u) ^ u = int 2 + u) du Môžete hádať, že to nemá elementárny anti-derivát a mali by ste mať pravdu. Môžeme však použiť formu pre imaginárnu chybovú funkciu, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Ak chcete získať náš integrál do tejto fo Čítaj viac »

Pozri nižšie. Vzhľadom k abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n ale sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 a d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 potom sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ) ^ 3 Čítaj viac »

Int hh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Začneme zavedením u-substitúcie u = 1 + cosh (x). Derivácia u je potom sinh (x), takže sa delíme pomocou sinh (x) na integráciu s ohľadom na u: int hh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int t (x)) / (zrušiť (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Tento integrál je spoločný integrál: int 1 / t d = ln | t | + C Toto robí náš integral: ln | u | + C Môžeme nahradiť: ln (1 + cosh (x)) + C, čo je naša posledná odpoveď. Absolútnu hodnotu odstránime z logaritmu, pretože si všimneme, že cosh je pozitívny vo svojej dom& Čítaj viac »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(Faulhaberov vzorec)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)] / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Čítaj viac »

Pozri nižšie. Bohužiaľ, funkcia vo vnútri integrálu sa nebude integrovať do niečoho, čo nemožno vyjadriť pomocou elementárnych funkcií. Na to budete musieť použiť numerické metódy. Môžem vám ukázať, ako používať sériovú expanziu na získanie približnej hodnoty. Začnite s geometrickou sérií: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n pre rlt1 r a použitím limitov 0 a x na získanie tohto: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integrácia ľavej strany: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1- Čítaj viac »

Pravidlo reťazca: f '(g (x)) * g' (x) V diferenciálnom počte, keď máme zloženú funkciu, použijeme pravidlo Chain. Uvádza: Derivácia sa bude rovnať derivácii vonkajšej funkcie vo vzťahu k vnútrajšku, čo je čas derivácie vnútornej funkcie. Pozrime sa, čo to vyzerá ako matematicky: Chain Rule: f '(g (x)) * g' (x) Povedzme, že máme zloženú funkciu sin (5x). Vieme: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Takže derivácia bude rovná cos (5x) * 5 = 5cos (5x) ) Musíme jednoducho nájsť naše dve funkcie, ná Čítaj viac »

Vieme, že funkcia môže byť aproximovaná s týmto vzorcom f (x) = súčet {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) kde R_n (x) je zvyšok. A funguje, ak f (x) je odvoditeľné n krát v x_0. Predpokladajme teda, že n = 4, inak je príliš zložité počítať deriváty. Poďme vypočítať pre každé k = 0 až 4 bez zváženia zvyšku. Keď k = 0 vzorec sa stane: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 A my vidíme, že e ^ (2/0) je undifiend, takže funkcia nemôže byť aproximované v x_0 = 0 Čítaj viac »

Tu je prístup ... Pozrime sa ... Lineárny je vo forme f (x) = mx + b, kde m je sklon, x je premenná, a b je priesečník y. (Vedeli ste to!) Môžeme nájsť konkávnosť funkcie nájdením jej dvojitej derivácie (f '' (x)) a kde sa rovná nule. Urobme to potom! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Toto nám hovorí, že lineárne funkcie sa musia zakriviť v každom danom bode. S vedomím, že graf lineárnych funkcií je priamka, to nedáva zmysel, však? P Čítaj viac »

Takže tiež potrebujem použiť reťazec pravidlo (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) subbing do pravidla výrobku. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Čítaj viac »

Myslím si, že nie je štandardizovaný. Ako študent na univerzite v USA v roku 1975 používame Calculus od Earla Swokowského (prvé vydanie). Jeho definícia je: Bod P (c, f (c)) na grafe funkcie f je bodom sklonu, ak existuje otvorený interval (a, b) obsahujúci c tak, že nasledujúce vzťahy platia: (i) farba (biela) (') "" f' '(x)> 0 ak a <x <c a f' '(x) <0 ak c <x <b; alebo (ii) "" f '' (x) <0 ak a <x <c a f '' (x)> 0 ak c <x <b. (str. 146) V učebnici, ktorú používam na učenie, si m Čítaj viac »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Čítaj viac »

Toto je exponenciálna funkcia bázy b (kde sa predpokladá b> 0). Možno ho považovať za b ^ x = e ^ (xln (b)), takže pomocou pravidla reťazca (pozri pravidlo reťazca) a skutočnosti, že (e ^ x) '= e ^ x (pozri Exponenciály so základňou) e) výnosy (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) n ln (b) = b ^ x ln (b) (pozri Exponenciálne funkcie). Čítaj viac »

Derivácia 10x vzhľadom na x je 10. Nech y = 10x Rozlišujeme y vzhľadom na x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (konšt) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Derivácia 10x vzhľadom na x je 10. Čítaj viac »

Existuje pravidlo pre rozlišovanie týchto funkcií (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Všimnite si, že pre náš problém a = 10 a u = x tak sa zapojme do toho, čo vieme. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) ak u = x potom, (du) / (dx) = 1 z dôvodu výkonu pravidlo: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1), takže späť k nášmu problému, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1) čo zjednodušuje (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Toto by fungovalo rovnako, keby u bolo niečo zložitejšie ako x. Veľa kalkulu sa zaoberá schopnosťou prepojiť dan&# Čítaj viac »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Pomocou nasledujúcich štandardných pravidiel diferenciácie: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Získame nasledujúci výsledok: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * In2 * cospix * (pi) Čítaj viac »

(d (2pir)) / (dr) farba (biela) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) konštantným pravidlom pre farbu derivátov (biela) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ Konštantným pravidlom pre deriváty sa hovorí, že ak f ( x) = c * g (x) pre určitú konštantu c potom f '(x) = c * g' (x) V tomto prípade f (r) = 2pir; c = 2pi a g (r) = r Čítaj viac »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Dané, -4 / x ^ 2 Prepíšte výraz pomocou (dy) / (dx) zápisu. d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Rozdeliť zlomok. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Pomocou násobenia konštantným pravidlom, (c * f) '= c * f', vyneste -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Prepíšte 1 / x ^ 2 pomocou exponentov. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Použitím pravidla výkonu d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1) sa výraz stáva, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Zjednodušte. = Farba (zelená) (| bar (ul (farba (biela) (A / A) farba (čierna) (8x ^ -3), farba (biela) (A / A) |))) Čítaj viac »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Zdá sa mi, že je najjednoduchšie premýšľať v zmysle exponentovej formy a používať mocenské pravidlo: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) takto: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2) + 3 ((- 2) x ^ (- 3) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Čítaj viac »

-5 teraz mocnina pre diferenciáciu je: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) pomocou pravidla výkonu = -5x ^ 0 = -5 ak použijeme definíciu (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h máme (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 ako predtým Čítaj viac »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx absolútna hodnota funkcie ako y = | x-2 | možno napísať takto: y = sqrt ((x-2) ^ 2) aplikovať diferenciáciu: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2) pravidlo rarrpower zjednodušiť, y , = (x 2) / | x-2 | kde x! = 2, takže vo všeobecnosti d / dxu = u / | u | * (du) / dx Dám to na dvojitú kontrolu, aby som si bol istý. Čítaj viac »

Predpokladám, že sa odvolávate na rovnostrannú hyperbolu, pretože je to jediná hyperbola, ktorú možno vyjadriť ako reálnu funkciu jednej reálnej premennej. Funkcia je definovaná f (x) = 1 / x. Podľa definície forall x in (-infty, 0) cup (0, + infty) derivácia je: f '(x) = lim_ {h až 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h až 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h až 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h až 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h až 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Toto môže byť tiež získané nasledujúcim odvodzovacím pra Čítaj viac »

5 Nie ste si úplne istí, že ste tu. Vykladám to ako: f (x) = 5x Derivácia: d / dx 5x = 5 Toto sa získa pomocou pravidla výkonu: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Z príkladu: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Čítaj viac »

Bočný komentár na začiatok: notácia cos ^ -1 pre inverznú funkciu kosínusu (explicitnejšie, inverzná funkcia obmedzenia kosínus na [0, pi]) je rozšírená, ale zavádzajúca. Štandardná konvencia pre exponenty pri použití trig funkcií (napr. Cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 naznačuje, že cos ^ (- 1) x je (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x) Samozrejme, nie je to, ale notácia je veľmi zavádzajúca, alternatívna (a bežne používaná) notácia arccos x je oveľa lepšia, teraz pre derivát Toto je kompozit, takže budeme používať pravidlo Čítaj viac »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Použitie pravidla Quotient, ktoré je y = f (x) / g (x), potom y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Toto platí pre daný problém, ktorým je f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, kde -1 Čítaj viac »

Implicitnou diferenciáciou, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Pozrime sa na niektoré detaily. Nahradením f (x) písmenom y, y = cot ^ {- 1} x prepísaním v termínoch kotangentu, Rightrowrow coty = x implicitným rozlíšením vzhľadom na x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 vydelením -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} podľa identity triglyceru csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, pravá šípka {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Odtiaľ, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Čítaj viac »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Proces: 1.) y = "arccsc" (x) Najprv prepíšeme rovnicu do formy, s ktorou sa dá ľahšie pracovať. Vezmite cosecant z oboch strán: 2.) csc y = x Prepíšte z hľadiska sínus: 3.) 1 / siny = x Vyriešte pre y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Teraz by malo byť jednoduchšie vziať deriváciu. Teraz je to len otázka pravidla reťazca. Vieme, že d / dx [arcsin alfa] = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) (je tu dôkaz o tom, že sa tu nachádza táto identita) Takže, vezmite deriváciu vonkajšej funkcie, potom vynásobte deriv Čítaj viac »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Vysvetlenie: f (x) = e ^ (4x) log (1 x) Konverzia z základňa 10 až ef (x) = e ^ (4x) ln (1 x) / ln10 Použitie pravidla produktu, ktoré je y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Podobne pre daný problém, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1 x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Čítaj viac »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) je len konštanta a môže sa ignorovať. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Čítaj viac »

Vo f (x) = ln (cos (x)), máme funkciu funkcie (nie násobenie, len sayin '), takže musíme použiť reťazec pravidlo pre deriváty: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Pre tento problém, s f (x) = ln (x) a g (x) = cos (x), máme f '(x) = 1 / x a g '(x) = - sin (x), potom zapojíme g (x) do vzorca pre f' (*). D / dx (ln (cos (x)) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) Toto stojí za to si zapamätať neskôr, keď sa dozviete o integráloch! Čítaj viac »

Najprv prepíšeme funkciu z hľadiska prirodzených logaritmov pomocou pravidla zmeny bázy: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Rozlišovanie bude vyžadovať použitie pravidla reťazca: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Vieme, že keďže derivácia ln x vzhľadom na x je 1 / x, potom derivácia ln (e ^ x + 3) vzhľadom na e ^ x + 3 bude 1 / (e ^ x + 3). Vieme tiež, že derivácia e ^ x + 3 vzhľadom na x bude jednoducho e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Zjednodušenie výnosov: d / dx f (x) = (e ^ x) / (ln 4 (e ^ x + 3)) Čítaj viac »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) riešenie Poďme y = ln (f (x)) Rozlišovanie vzhľadom na x pomocou pravidla reťazca, dostaneme, y' = 1 / f (x) * f '(x) Podobne pre dané problémy výnosy, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Čítaj viac »

Vedľajší komentár na začiatok: notácia sin ^ -1 pre inverznú sínusovú funkciu (explicitnejšie, inverzná funkcia obmedzenia sínu na [-pi / 2, pi / 2]) je rozšírená, ale zavádzajúca. Skutočne, štandardná konvencia pre exponenty pri použití trig funkcií (napr. Sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 naznačuje, že sin ^ (- 1) x je (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) Samozrejme, nie je to, ale notácia je veľmi zavádzajúca, alternatívna (a bežne používaná) notácia arcsin x je oveľa lepšia, teraz pre derivát Toto je kompozit, takže budem Čítaj viac »

F '(x) = 2 (cosec2x) Riešenie f (x) = ln (tan (x)) začnime s všeobecným príkladom, predpokladajme, že máme y = f (g (x)), potom pomocou pravidla reťazca, y' = f '(g (x)) * g' (x) Podobne podľa daného problému, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) pre ďalšie zjednodušenie, násobíme a delíme 2, f' (x) = 2 / (2sxxxx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Čítaj viac »

Metóda 1: Začneme s použitím pravidla zmeny bázy na prepísanie f (x) ekvivalentne ako: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Vieme, že d / dx [ln x] = 1 / x , (ak táto identita vyzerá neznáme, pre bližšie vysvetlenie skontrolujte niektoré z videí na tejto stránke) Takže použijeme pravidlo reťazca: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Derivácia ln x / 6 bude 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Zjednodušenie nám dáva: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Metóda 2: Prvá vec, ktorú treba poznamenať, že iba d / dx ln (x) = Čítaj viac »

Predpokladám, že logom ste mysleli logaritmus so základňou 10. Nemal by byť problém, pretože logika sa vzťahuje aj na iné bázy. Najprv aplikujeme pravidlo zmeny bázy: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Môžeme považovať 1 / ln10 za konštantu, takže vezmime deriváciu čitateľ a aplikujte pravidlo reťazca: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Zjednodušte bit: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Je tu náš derivát. Majte na pamäti, že odvodenie logaritmov bez bázy e je len záležitosťou použitia pravidla zmeny základne na ich konverziu Čítaj viac »

Derivácia je f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Toto je príklad pravidla Quotient Rule: Quotient Rule. Pravidlo kvocientu uvádza, že derivácia funkcie f (x) = (u (x)) / (v (x)) je: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x ) v '(x)) / (D (x)) ^ 2. Stručne povedané: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, kde u a v sú funkcie (konkrétne čitateľ a menovateľ pôvodnej funkcie f (x)). Pre tento konkrétny príklad by sme nechali u = logx a v = x. Preto u '= 1 / x a v' = 1. Substitúciou týchto výsledkov do pravidla kvocientu nájdeme: f '(x) = (x xx 1 / x- Čítaj viac »

Pravidlom Quotient, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Tento problém môže byť vyriešený aj pravidlom y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Pôvodnú funkciu možno prepísať aj pomocou záporných exponentov. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Čítaj viac »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Proces: Najprv urobíme rovnicu trochu jednoduchšou. Vezmite sečnicu z oboch strán: y = sec ^ -1 x sec y = x Ďalej, prepíšte termíny cos: 1 / cos y = x A vyriešte y: 1 = xcosy 1 / x = útulný y = arccos (1 / x) Teraz to vyzerá oveľa ľahšie rozlišovať. Vieme, že d / dx [arccos (alfa)] = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)), takže môžeme použiť túto identitu, ako aj pravidlo reťazca: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Trocha zjednodušenia: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) viac zjednodušenia: dy / dx = 1 / (x ^ Čítaj viac »

Väčšina ľudí si pamätá tento f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} ako jeden z derivátových vzorcov; môžete ho však odvodiť implicitnou diferenciáciou. Odvodme deriváciu. Nech y = sin ^ {- 1} x. Prepisovaním v termínoch sine, siny = x Implicitným rozlíšením s ohľadom na x, útulný cdot {dy} / {dx} = 1 Vydelením podľa útulku, {dy} / {dx} = 1 / cozy By cozy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Čítaj viac »

Derivát pre tento príklad zahŕňa pravidlo reťazca a pravidlo výkonu. Konvertujte odmocninu na exponent. Potom aplikujte pravidlo Power a pravidlo Chain. Potom zjednodušte a odstráňte negatívne exponenty. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Čítaj viac »

Zdá sa, že si spomínam na svojho profesora, ktorý zabudol, ako to odvodiť. To je to, čo som mu ukázal: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sek ^ 2y) Vzhľadom k tomu, tany = x / 1 a sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => farba (modrá) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Myslím, že to pôvodne zamýšľal urobiť: (dy) / (dx) = 1 / (sek ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Čítaj viac »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Potrebujeme pravidlo sum (u + v + w)' = u '+ v' + w 'a že (x ^ n)' = nx ^ (n-1) tak dostaneme f '(x) = 3x ^ 2-6x Čítaj viac »

Keď rozlišujete exponenciál s inou bázou ako je e, použite pravidlo change-of-base, aby ste ho konvertovali na prirodzené logaritmy: f (x) = x * lnx / ln5 Teraz rozlišujte a aplikujte pravidlo produktu: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Vieme, že derivácia ln x je 1 / x. Ak vezmeme 1 / ln5 ako konštantu, potom môžeme znížiť vyššie uvedenú rovnicu na: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Zjednodušenie výnosov: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Čítaj viac »

Funkcia f (x) = x * ln (x) má tvar f (x) = g (x) * h (x), čo ju robí vhodnou pre spotrebič výrobku. Pravidlo produktu hovorí, že na nájdenie derivácie funkcie, ktorá je produktom dvoch alebo viacerých funkcií, použite nasledujúci vzorec: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) V v našom prípade môžeme pre každú funkciu použiť nasledujúce hodnoty: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Keď každý z týchto znakov nahradíme výrobku pravidlo, dostaneme konečnú odpoveď: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = Čítaj viac »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Budeme vyžadovať použitie dvoch pravidiel: pravidlo produktu a pravidlo reťazca. Pravidlo výrobku uvádza, že: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Pravidlo reťazca uvádza, že: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, kde u je funkcia x a y je funkcia u. Preto (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Ak chcete nájsť deriváciu sqrt (1-x ^ 2) , použite pravidlo reťazca, u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) Nahradenie tohto výsledku do p& Čítaj viac »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Ak chcete nájsť deriváciu g (x), musíte rozlišovať každý výraz v súčte g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Je jednoduchšie vidieť Power Rule na druhom termíne jeho prepísaním ako g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Nakoniec môžete tento nový druhý termín prepísať ako zlomok: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Čítaj viac »

Môžete zaobchádzať s i ako s ľubovoľnou konštantou ako C. Takže derivácia i by bola 0. Keď sa však zaoberáme zložitými číslami, musíme byť opatrní s tým, čo môžeme povedať o funkciách, derivátoch a integráloch. Vezmite funkciu f (z), kde z je komplexné číslo (to znamená, že f má komplexnú doménu). Potom derivácia f je definovaná podobným spôsobom ako reálny prípad: f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) kde h je teraz komplexné číslo. Keď vidíme, že zložité čí Čítaj viac »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Použijete pravidlo reťazca: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). Vo vašom prípade: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) a g (x) = 2x. Pretože f '(x) = 1 / x a g' (x) = 2, máme: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / X. Čítaj viac »

Vzhľadom na funkciu (lineárna): y = mx + b kde m a b sú reálne čísla, derivácia, y 'tejto funkcie (s ohľadom na x) je: y' = m Táto funkcia, y = mx + b, predstavuje graficky priamku a číslo m predstavuje SLOPE čiary (alebo ak chcete sklon priamky). Ako vidíte, odvodenie lineárnej funkcie y = mx + b vám dáva m, sklon čiary, čo je dosť spätný výsledok, široko používaný v Calculus! Ako príklad môžete uvažovať o funkcii: y = 4x + 5 môžete odvodiť každý faktor: derivácia 4x je 4 derivácia 5 je 0 a potom ich spoč& Čítaj viac »

Derivácia pi * r ^ 2 (za predpokladu, že toto je s ohľadom na r) je farba (biela) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = farba (červená) (2pir) Všeobecne mocnosť pravidlo pre rozlišovanie funkcie všeobecnej formy f (x) = c * x ^ a kde c je konštanta je (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) V tomto prípade farba (biela) ("XXX") konštanta (c) je farba pi (biela) ("XXX") exponent (a) je 2 farby (biela) ("XXX") a my používame r ako našu premennú, namiesto x So farba (biela) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) farba (biela) ("XXXXXXX") = 2pir Čítaj viac »

Pi / 3 Použijeme pravidlo: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Inými slovami, derivácia 5x je 5, derivácia -99x je -99 a derivácia 5 / 7x je 5/7. Daná funkcia (pix) / 3 je rovnaká: je to konštanta pi / 3 vynásobená premennou x. Teda d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Čítaj viac »

2 * cos (2x) Použil by som pravidlo reťazca: Prvý odvodiť hriech a potom argument 2x získať: cos (2x) * 2 Čítaj viac »

Predchádzajúca odpoveď obsahuje chyby. Tu je správne odvodenie. Po prvé, znamienko mínus pred funkciou f (x) = - hriech (x) by pri zmene derivácie zmenilo znamenie derivácie funkcie f (x) = hriech (x) na opačný , Toto je jednoduchá veta v teórii limitov: hranica konštanty násobená premennou, ktorá sa rovná tejto konštante násobenej limitom premennej. Nájdime teda deriváciu f (x) = sin (x) a potom ju vynásobíme -1. Musíme vychádzať z nasledujúceho výroku o limite trigonometrickej funkcie f (x) = hriech (x), pre Čítaj viac »