Čo je integrál (ln (xe ^ x)) / x?

odpoveď:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

vysvetlenie:

Dostali sme:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Použitím #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Použitím #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Použitím #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Rozdelenie frakcie (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Oddelenie súčtových integrálov:

# = Int # #ln (x) / xdx +

Druhý integrál je jednoducho #x + C #, kde # C # je ľubovoľná konštanta. Prvý integrál, ktorý používame # U #-substitucí:

nechať #u ekvivalent ln (x) #, preto #du = 1 / x dx #

Použitím # U #-substitucí:

# = int udu + x + C #

Integrácia (ľubovoľná konštanta # C # môže absorbovať ľubovoľnú konštantu prvého neurčitého integrálu:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Nahradenie späť z hľadiska #X#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

odpoveď:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

vysvetlenie:

Začneme s použitím nasledujúcej logaritmickej identity:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Ak použijeme tento integrál, dostaneme:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x # x

Na vyhodnotenie zostávajúceho integrálu používame integráciu podľa častí:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Pustím # F (x) = ln (x) # a #G '(x) = 1 / x #, Potom môžeme vypočítať, že:

# F '(x) = 1 / x # a #G (x) = ln (x) #

Potom môžeme použiť vzorec integrácie podľa častí, aby sme získali:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Keďže máme integrál na oboch stranách znamienka, môžeme ho riešiť ako rovnicu:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Po opätovnom pripojení k pôvodnému výrazu dostaneme konečnú odpoveď:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #