Integrál 1 / sqrt (tanx) dx =?

odpoveď:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (Tanx-sqrt (2tanx) 1) / (Tanx-sqrt (2tanx) 1) | + C #

vysvetlenie:

Začneme u-substitúciou pomocou # U = sqrt (Tanx) #

Derivát # U # je:

# (Du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (Tanx)) #

tak sa delíme, aby sme sa integrovali s ohľadom na # U # (a pamätajte, že delenie zlomkom je rovnaké ako násobenie jeho vzájomným):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2x d = #

# = int 2 / sek ^ 2x

Pretože sa nemôžeme integrovať #X#s ohľadom na. t # U #, používame nasledujúcu identitu:

# S ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 #

To dáva:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) d = int 2 / (1 + u ^ 4) d = 2int 1 / (1 + u ^ 4)

Tento zostávajúci integrál používa pomerne únavné čiastočné rozloženie frakcií, takže to tu nebudem robiť. Ak sa zaujímate o to, ako je vypracovaná, pozrite sa na túto odpoveď:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) d = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

Náhrada za # U = sqrt (Tanx) #, dostaneme:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (Tanx-sqrt (2tanx) 1) / (Tanx-sqrt (2tanx) 1) | + C #

odpoveď:

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (Tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (Tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

vysvetlenie:

# I = INT1 / sqrt (Tanx) dx #

nech #sqrt (Tanx) = t => Tanx = t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + tan ^ 2 x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#:. I = INT1 / cancelt * (2 * dt cancelt *) / (1 + t ^ 4) = INT2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = Int (t ^ 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt #

# = Int (1 + 1 / t ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / ((t + 1 / t) ^ 2- 2) dt #

Zoberme# (T-1 / t) = uand (t + 1 / t) = v ## => (1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv ## => I = INT1 / (u ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-INT1 / (v ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2) dv = 1 / sqrt (2) tan ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (V-sqrt2) / (V + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t-1 / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t + 1 / t) -sqrt2) / ((t + 1 / T) + sqrt2) | + c ## = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t ^ 2 + 1-sqrt (2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) | + c #

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (Tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (Tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #