Použite prvý princíp na odlíšenie? y = sqrt (sinx)

odpoveď:

Prvým krokom je prepísanie funkcie ako racionálneho exponenta #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

vysvetlenie:

Po vyjadrení v tomto formulári ho môžete rozlíšiť pomocou pravidla reťazca:

Vo vašom prípade: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

potom # 1 / 2sin (x) ^ {- 1/2} * cos (x) # čo je vaša odpoveď

odpoveď:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

vysvetlenie:

Pomocou definície limitu derivátu máme:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Takže pre danú funkciu, kde # F (x) = sqrt (sinx) #, máme:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Potom môžeme použiť trigonometrickú identitu:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Dáva nám:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Potom použijeme dva štandardné limity:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #a #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #a #

A teraz môžeme vyhodnotiť limity:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #