Ako zistíte, že objem tuhých látok generovaný otáčaním oblasti ohraničenej krivkami y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) rotuje okolo y = 4?

odpoveď:

# V = 685 / 32pi # kubických jednotiek

vysvetlenie:

Najprv načrtnite grafy.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

#X#-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # A máme to # {(X = 0), (x = 1):} #

Takže zachytenia sú #(0,0)# a #(1,0)#

Získať vrchol:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Takže vrchol je na #(1/2,-1/4)#

Opakovať predchádzajúce:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # A máme to # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Takže zachytenia sú # (Sqrt (3), 0) # a # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Takže vrchol je na #(0,3)#

výsledok:

Ako získať objem? Použijeme metóda disku!

Táto metóda je jednoducho taká, že: # "Volume" = piint_a ^ o ^ 2DX #

Myšlienka je jednoduchá, ale musíte ju používať elegantne.

A to je to, čo budeme robiť.

Umožňuje zavolať na náš zväzok # V #

# => V = v_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2DX #

NB: beriem # (4-y) # pretože # Y # je len vzdialenosť od #X#-axis krivky, zatiaľ čo chceme vzdialenosť od čiary # Y = 4 # na krivku!

Teraz nájsť # A # a # B #, prirovnávame # # Y_1 a # # Y_2 a potom vyriešiť #X#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3), (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = 1):} #

od tej doby # A # príde skôr # B #, # => A = -1 # a # B = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5), (x ^ 4 + 3 ^ 3-7 krát ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Urobte to isté # # V_2:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = PI x + (2 x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = v_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = farba (modrá) ((685pi) / 32) #