Aké sú lokálne extrémy f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

odpoveď:

Paraboly majú presne jeden extrém, vrchol.

to je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

od tej doby # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # všade je funkcia všade konkávna a tento bod musí byť minimálny.

vysvetlenie:

Máte dva korene k nájdeniu vrcholu parabola: jedna, použiť kalkul nájsť bolo derivácia je nula; dva, vyhnúť sa počtu za každú cenu a len dokončiť námestie. Budeme používať kalkul pre prax.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #Musíme z toho odvodiť.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Podľa linearity derivátu, ktorý máme

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Použitie pravidla napájania # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # máme

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Nastavíme to na nulu, aby sme našli kritické body, lokálne a globálne minimá a maximá a niekedy body inflexie majú nulové hodnoty.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

takže máme jeden kritický bod # X = -9/2 # alebo #-4 1/2#.

Ak chcete nájsť súradnicu y kritického bodu, do ktorého vstupujeme # X = -9/2 # späť do funkcie, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Kritický bod / vrchol je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Vieme to, pretože #A> 0 #, toto je maximum.

Na formálne zistenie, či ide o maximá alebo minimá, musíme urobiť druhý derivačný test.

# {d ^ 2f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Druhý derivát je 2 na všetkých hodnotách x. To znamená, že je všade väčšia ako nula a funkcia je konkávne všade (je to parabola #A> 0 # po tom všetkom), takže extrém musí byť minimálny, vrchol.