Aké sú lokálne extrémy f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

odpoveď:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) približne 0,541 #

vysvetlenie:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Uplatnenie pravidla produktu

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Pre miestne maximá alebo minimá: #f '(x) = 0 #

nechať # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 alebo z = -2 #

Teda pre lokálne maximum alebo minimum:

#lnx = 0 alebo lnx = -2 #

#:. x = 1 alebo x = e ^ -2 približne 0,135 #

Teraz skúma graf #X (LNX) ^ 2 # nižšie.

graf {x (lnx) ^ 2 -2,566, 5,23, -1,028, 2,87}

Môžeme pozorovať, že zjednodušené # F (x) # má miestne minimum na adrese # X = 1 # a lokálne maximum na #xv (0, 0,25) #

Z toho dôvodu: #f_min = f (1) = 0 # a #f_max = f (e ^ (- 2)) približne 0,541 #