Čo je Taylorova expanzia e ^ (- 2x) v strede na x = 0?

odpoveď:

# E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) X ^ n = 1-2x + 2 ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

vysvetlenie:

Prípad série Taylor sa rozšíril #0# sa nazýva séria Maclaurin. Všeobecný vzorec série Maclaurin je:

# F (x) = sum_ (n = 0) ^ uf ^ n (0) / (n!) X ^ n #

Na vypracovanie série pre našu funkciu môžeme začať s funkciou # E ^ x # a potom použiť na zistenie vzorca # E ^ (- 2x) #.

Aby sme mohli zostaviť sériu Maclaurin, musíme zistiť n-tú deriváciu # E ^ x #, Ak vezmeme niekoľko derivátov, môžeme pomerne rýchlo vidieť vzor:

# F (x) = e ^ x #

# F '(x) = e ^ x #

# F '' (x) = e ^ x #

V skutočnosti, n-tej derivácie # E ^ x # je len # E ^ x #, Môžeme ho pripojiť do vzorca Maclaurin:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oœ ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Teraz, keď máme taylor sériu pre # E ^ x #, môžeme len nahradiť všetky #X#s # # -2x získať sériu # E ^ (- 2x) #:

# E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) X ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2 ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

čo je séria, ktorú sme hľadali.