Čo vám druhý Derivatívny test hovorí o správaní sa f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 v týchto kritických číslach?

odpoveď:

Druhý test odvodenia znamená, že kritické číslo (bod) # X = 4/7 # poskytuje lokálne minimum pre # F # zatiaľ čo nehovoriac nič o povahe # F # pri kritických číslach (body) # X = 0,1 #.

vysvetlenie:

ak # F (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, potom hovorí Product Rule

# F '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3) #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Nastavenie na nulu a riešenie pre #X# znamená, že # F # má kritické čísla (body) na # X = 0,4 / 7,1 #.

Opätovné použitie pravidla pre produkt dáva:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

teraz # F '' (0) = 0 #, # F '' (1) = 0 #a # F '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Druhý test derivácie preto znamená, že kritické číslo (bod) # X = 4/7 # poskytuje lokálne minimum pre # F # zatiaľ čo nehovoriac nič o povahe # F # pri kritických číslach (body) # X = 0,1 #.

V skutočnosti, kritické číslo (bod) na # X = 0 # udáva lokálne maximum pre # F # (a prvý derivatívny test je dostatočne silný, aby to naznačoval, aj keď druhý derivátový test neposkytol žiadne informácie) a kritické číslo (bod) na # X = 1 # neposkytuje ani lokálny max, ani min # F #, ale (jednorozmerný) "sedlový bod".