Môžete sa liečiť # Aj # ako každá konštantná # C #, Takže derivácia # Aj # bolo by #0#.
Keď sa však zaoberáme zložitými číslami, musíme byť opatrní, čo môžeme povedať o funkciách, derivátoch a integráloch.
Vykonajte funkciu # F (z) #, kde # Z # je komplexné číslo (to znamená # F # má komplexnú doménu). Potom derivácia # F # je definovaný podobným spôsobom ako skutočný prípad:
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #
kde # # H je teraz komplexné číslo. Keď vidíme, že zložité čísla možno považovať za ležiace v rovine, nazývanej komplexná rovina, máme, že výsledok tohto limitu závisí od toho, ako sme sa rozhodli urobiť. # # H ísť do #0# (to znamená, s akou cestou sme sa rozhodli tak urobiť).
V prípade konštanty # C #Je ľahké vidieť, že je to derivát #0# (dôkaz je analogický skutočnému prípadu).
Ako príklad si vezmite # F # byť #f (z) = bar (z) #, to znamená, # F # má komplexné číslo # Z # do jeho konjugátu #bar (z) #.
Potom derivát # F # je
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h až 0) (bar (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h až 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h až 0) (bar (h)) / (h) #
Zvážte vytvorenie # # H ísť do #0# používa iba reálne čísla. Keďže komplexný konjugát reálneho čísla je sám o sebe, máme:
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h až 0) h / h = = lim_ (h až 0) 1 = 1 #
Teraz, urob # # H ísť do #0# používajú iba čisto imaginárne čísla (čísla formulára # # Ai). Od konjugátu čistého imaginárneho čísla # W # je # -W #, máme:
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h až 0) -h / h = = lim_ (h až 0) -1 = -1 #
A preto #f (z) = bar (z) # nemá žiadny derivát.
