Ako integrovať int x ^ lnx?

odpoveď:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

vysvetlenie:

Začneme u-substitúciou pomocou # U = ln (x) #, Potom sa delíme derivátom # U # integrovať s ohľadom na # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u #

Teraz musíme vyriešiť #X# z hľadiska # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

#int x x x ^ u = int ^ u * (e ^ u) ^ u = int ^ ^ (u ^ 2 + u)

Možno hádate, že to nemá elementárny anti-derivát, a mali by ste mať pravdu. Môžeme však použiť formulár pre imaginárnu chybovú funkciu, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Aby sme získali integrál do tejto formy, môžeme mať v exponente iba jednu štvorcovú premennú # E #, takže musíme dokončiť námestie:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) d = e ^ (- 1/4) int ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Teraz môžeme zaviesť u-substitúciu pomocou # T = u + 1/2 #, Derivát je spravodlivý #1#, takže nemusíme robiť nič zvláštne na integráciu # T #:

#e ^ (- 1/4) int ^ ^ (t ^ 2) d = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * Erfi (t) + C #

Teraz môžeme vrátiť všetky náhrady, aby sme získali:

# E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #