Aký je absolútny extrém funkcie: 2x / (x ^ 2 +1) na uzavretom intervale [-2,2]?

Absolútne extrémy funkcie v uzavretom intervale # A, b # môže byť alebo lokálny extrém v tomto intervale, alebo body, ktorých ascissae sú #a alebo b #.

Nájdime teda lokálne extrémy:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#Y '> = 0 #

ak

# -X ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Takže naša funkcia je klesajúca #-2,-1)# a v #(1,2# a rastie v #(-1,1)#, a tak to má zmysel #A (-1 až 1) # je miestne minimum a bod # B (1,1) # je lokálne maximum.

Teraz nájdeme súradnicu bodov v extréme intervalu:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4/5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Takže kandidáti sú:

#A (-1 až 1) #

# B (1,1) #

#C (-2, -4/5) #

#D (2,4 / 5) #

a je ľahké pochopiť, že absolútne extrémy sú # A # a # B #, ako môžeš vidieť:

graf {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}