Ako zistíte MacLaurinov vzorec pre f (x) = sinhx a použite ho na priblíženie f (1/2) v rámci 0,01?

odpoveď:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

vysvetlenie:

Poznáme definíciu #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Pretože poznáme sériu Maclaurin # E ^ x #, môžeme ho použiť na vytvorenie jednej #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Môžeme nájsť sériu # E ^ -X # nahradením #X# s #-X#:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2 x ^ 3 / (3!) … #

Tieto dva od seba môžeme odpočítať, aby sme našli čitateľa # # Sinh definícia:

#COLOR (biely) (-. E ^ -x) e ^ x = farbu (biela) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#COLOR (biely) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = farbu (biela) (lllllllll) 2xcolor (biely) (lllllllll) + (2 x ^ 3) / (3!) Farba (biela) (lllllll) + (2 x ^ 5) / (5!) … #

Vidíme, že všetky párne výrazy sa zrušia a všetky nepárne výrazy sa zdvojnásobia. Tento vzor môžeme reprezentovať takto:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Na dokončenie #sinh (x) # série, musíme to rozdeliť #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Teraz chceme počítať #f (1/2) # aspoň s presnosťou #0.01#, Poznáme túto všeobecnú formu Lagrangeovej chyby viazanej na n-tého stupňa polynomu taylor # X = c #:

# | R_n (x) | <= | M / (! (N + 1)), (x-c) ^ (n + 1) | # kde # M # je horná hranica n-tej derivácie v intervale od # C # na #X#.

V našom prípade je expanzia séria Maclaurin # C = 0 # a # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Deriváty vyššieho rádu #sinh (x) # buď #sinh (x) # alebo #cosh (x) #, Ak vezmeme do úvahy ich definície, vidíme to #cosh (x) # bude vždy väčšia ako #sinh (x) #, takže by sme mali vypracovať # M #-bound pre #cosh (x) #

Hyperbolická kosínusová funkcia sa vždy zvyšuje, takže najväčšia hodnota na intervale bude na #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrt + 1 / sqrt) / 2 = sqrt / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Teraz zapojíme túto chybu do Lagrangeovej chyby:

# | R_n (x) | <= (sqrt / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)), (1/2), ^ (n + 1) #

Chceme # | R_n (x) | # byť menšie ako. t #0.01#, a tak vyskúšame niektoré # N # hodnoty, kým sa nedostaneme k tomuto bodu (menšie množstvo termínov v polynóme, tým lepšie). Našli sme to # N = 3 # je prvá hodnota, ktorá nám poskytne chybu menšiu ako #0.01#, takže musíme použiť taylor polynómu tretieho stupňa.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #