Ako vypočítať sumu tohto? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

s ohľadom na #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) súčet (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ale # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # a

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # potom

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

odpoveď:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # kedy # | X | <1 #

vysvetlenie:

Začneme písaním niektorých koeficientov:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Prvá vec, na ktorú sa chceme pozrieť, sú koeficienty (stupeň #X# možno pomerne ľahko upraviť násobením a delením série podľa #X#, takže nie sú také dôležité). Vidíme, že všetky sú násobky dvoch, takže môžeme uviesť dvojnásobný faktor:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koeficienty vo vnútri tejto zátvorky možno rozpoznať ako binomickú sériu s výkonom # Alfa = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alphax + (alfa (a-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1), (a-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Všimli sme si, že exponenty všetkých termínov v zátvorkách sú väčšie o dva v porovnaní s radom, ktorý sme práve odvodili, takže sa musíme množiť # X ^ 2 # získať správnu sériu:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

To znamená, že naša séria je (keď konverguje) rovná:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Len aby sme overili, že sme neurobili chybu, môžeme rýchlo použiť sériu Binomial na výpočet série # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (-! 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Tento vzor môžeme opísať takto:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = súčet (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Vzhľadom k tomu, prvý termín je len #0#, môžeme napísať:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

čo je séria, s ktorou sme začali, overujúc výsledok.

Teraz musíme len zistiť interval konvergencie, aby sme videli, kedy má séria skutočne hodnotu. Môžeme to urobiť tak, že sa pozrieme na konvergenčné podmienky pre binomickú sériu a zistíme, že séria konverguje, kedy # | X | <1 #