Čo je derivácia -sinu (x)?

Predchádzajúca odpoveď obsahuje chyby. Tu je správne odvodenie.

Po prvé, znamienko mínus pred funkciou # F (x) = - sin (x) #, ak by som prevzal deriváciu, zmenil by znamenie derivácie funkcie # F (x) = sin (x) # opaku. Toto je jednoduchá veta v teórii limitov: hranica konštanty násobená premennou, ktorá sa rovná tejto konštante násobenej limitom premennej. Nájdime teda deriváciu # F (x) = sin (x) # a potom ho vynásobte #-1#.

Musíme začať z nasledujúceho vyhlásenia o limite trigonometrickej funkcie # F (x) = sin (x) # pretože jeho argument má tendenciu nula:

#lim_ (H> 0) sin (h) / h = 1 #

Dôkaz o tom je čisto geometrický a je založený na definícii funkcie #sin (x) #, Existuje mnoho webových zdrojov, ktoré obsahujú dôkaz o tomto vyhlásení, ako napríklad stránka Matematika.

Pomocou tohto môžeme vypočítať deriváciu # F (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Použitie reprezentácie rozdielu # # Sin funguje ako produkt # # Sin a # # Cos (pozri Unizor, Trigonometria - Trig súčet uhlov - problémy 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

# F '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Preto derivát # F (x) = - sin (x) # je # F '(x) = - cos (x) #.