Ako zistíte objem oblasti ohraničenej krivkami y = x ^ 2 - 1 a y = 0 otočenými okolo čiary x = 5?

odpoveď:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + 1/3) #

vysvetlenie:

Aby sme mohli tento objem vypočítať, v istom zmysle ho rozrezáme na (nekonečne tenké) plátky.

Predstavujeme si región, aby sme nám s tým pomohli, uzavrel som graf, kde oblasť je časťou pod krivkou. Všimli sme si to # Y = x ^ 2-1 # prekročí čiaru # X = 5 # kde # Y = 24 # a že prechádza čiarou # Y = 0 # kde # X = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Pri rezaní tejto oblasti v horizontálnych rezoch s výškou #D Y# (veľmi malá výška). Dĺžka týchto rezov veľmi závisí od súradnice y. pre výpočet tejto dĺžky potrebujeme poznať vzdialenosť od bodu # (Y, x) # na linke # Y = x ^ 2-1 # k bodu (5, y). Samozrejme # 5-x #, ale chceme vedieť, ako to závisí # Y #, od tej doby # Y = x ^ 2-1 #, vieme # X ^ 2 = y + 1 #, pretože máme #X> 0 # pre región, v ktorom sa zaujímame, # X = sqrt (y + 1) #, preto táto vzdialenosť závisí od # Y #, ktoré budeme označovať ako #r (y) # je daný #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Teraz otočíme túto oblasť okolo # X = 5 #to znamená, že každý rez sa stane valcom s výškou #D Y# a polomer #r (y) #, teda objem #pir (y) ^ 2DY #, Všetko, čo teraz musíme urobiť, je spočítať tieto nekonečne malé objemy pomocou integrácie. Všimli sme si to # Y # odchádza #0# na #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = PI 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24 - 20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.