Čo je derivácia f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

postup:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Najprv prepíšeme rovnicu do formy, s ktorou sa dá ľahšie pracovať.

Vezmite si zástupcu oboch strán:

2.) #csc y = x #

Prepísať sine:

3.) # 1 / siny = x #

Riešiť # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Teraz by malo byť jednoduchšie vziať deriváciu. Teraz je to len otázka pravidla reťazca.

My to vieme # d / dx arcsin alfa = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (tu sa nachádza dôkaz o tejto totožnosti)

Takže, vezmite deriváciu vonkajšej funkcie, potom násobte derivátom # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Derivát # 1 / x # je rovnaký ako derivát #X ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Zjednodušenie 8. nám dáva:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Aby bolo vyhlásenie trochu krajšie, môžeme priniesť námestie # X ^ 2 # vnútri radikálu, hoci to nie je potrebné:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) # #

Zjednodušenie výnosov:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

A je tu naša odpoveď. Pamätajte si, že problémy s derivátmi, ktoré zahŕňajú inverzné funkcie trig, sú väčšinou cvičením vo vašich znalostiach trig identity. Použite ich na rozdelenie funkcie na formu, ktorá sa dá ľahko odlíšiť.