Aká je priemerná hodnota funkcie f (x) = cos (x / 2) na intervale [-4,0]?

odpoveď:

# 1 / 2sin (2) #, približne #0.4546487#

vysvetlenie:

Priemerná hodnota # C # funkcie # F # na intervale # A, b # je daný:

# C = 1 / (B-A) int_a ^ bf (x) dx #

Toto sa premieta do priemernej hodnoty:

# C = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Použime striedanie # U = x / 2 #, To znamená, že # Du = 1 / 2DX #, Potom môžeme integrál ako taký prepísať:

# C = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# C = 1 / 2INT _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2DX) #

Rozdelenie #1/4# do #1/2*1/2# umožňuje # 1 / # 2DX aby sme boli prítomní v integrále, takže môžeme ľahko vykonať substitúciu # 1 / 2DX = du #, Musíme tiež zmeniť hranice do hraníc # U #, nie #X#, Ak to chcete urobiť, vezmite si prúd #X# a zapojte ich do # U = x / 2 #.

# C = 1 / 2INT _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

Toto je spoločný integrál (všimnite si to # D / dxsin (x) = cos (x) #):

# C = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

vyhodnocovanie:

# C = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# C = -1 / 2sin (-2) #

Poznač si to #sin (-x) = - sin (x) #:

# C = 1 / 2sin (2) #

#c cca0.4546487 #

Priemerná hodnota funkcie v (x) = 4 / x2 na intervale [[1, c] sa rovná 1. Aká je hodnota c?

C = 4 Priemerná hodnota: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Takže priemerná hodnota je (-4 / c + 4) / (c-1) Riešenie (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 nás dostane c = 4.

Aká je priemerná hodnota funkcie f (x) = (x-1) ^ 2 na intervale [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Priemer všetkých bodov" f (x) v [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Mali by sme mať tému "Priemerná hodnota" v kalkul - Aplikácie konečných integrálov? Stále vidím otázky, ktoré si vyžadujú priemernú hodnotu za priemernú mieru zmien.

Áno, znie to, že by sme mali mať v Kalkule tému s názvom „Priemerná hodnota“. Kde si myslíte, že by mala ísť do učebných osnov? Dajte mi vedieť a ja ho pridám!