Ako môžete použiť integrálny test na určenie konvergencie alebo divergencie série: súčet n e ^ -n od n = 1 do nekonečna?

odpoveď:

Vezmite integrál # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, ktorý je konečný, a všimnite si, že sa viaže #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #, Preto je konvergentná #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # je tiež.

vysvetlenie:

Formálne vyhlásenie o integrálnom teste uvádza, že ak #fin 0, oo) rightarrowRR # monotónna klesajúca funkcia, ktorá je nezáporná. Potom suma #sum_ (n = 0) ^ uf (n) # je konvergentná len vtedy, ak # "Sup" _ (N> 0) INT_0 ^ NF (x) dx # je konečný. (Tau, Terence. Analýza I, druhé vydanie. Hindustan book agency. 2009).

Toto vyhlásenie sa môže zdať trochu technické, ale myšlienka je nasledovná. V tomto prípade sa táto funkcia vykoná # F (x) = xe ^ (- x) #Všimli sme si to #X> 1 #, táto funkcia sa znižuje. Môžeme to vidieť tým, že vezmeme derivát. # F '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, pretože #X> 1 #, takže # (1-x) <0 # a # E ^ (- x)> 0 #.

Kvôli tomu si všimneme, že pre každého #ninNN _ (> = 2) # a #x in 1, oo # takýmto spôsobom #X <= n # máme # F (x)> = f (n) #, teda #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ NF (n) dx = f (n) #, takže #sum_ (n = 1) ^ NF (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ NF (x) dx #.

# Int_1 ^ uf (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ oœ ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # s využitím integrácie jednotlivých častí a to #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

od tej doby # F (x)> = 0 #, máme # E / 2 = int_1 ^ uf (x) dx> = int_1 ^ NF (x) dx #, takže #sum_ (n = 1) ^ NF (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #, od tej doby # F (n)> = 0 #, série #sum_ (n = 1) ^ NF (n) # zvyšuje ako # N # zvyšuje. Pretože je ohraničený # 3 / e #, musí sa zbiehať. teda #sum_ (n = 1) ^ uf (n) # konverguje.