Ako to vypočítať? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Príklad

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Bohužiaľ, funkcia vo vnútri integrálu sa nebude integrovať do niečoho, čo nemožno vyjadriť pomocou elementárnych funkcií. Na to budete musieť použiť numerické metódy.

Môžem vám ukázať, ako používať sériu rozšírenie získať približná hodnota.

Začnite s geometrickými radmi:

# 1 / (1-r) = 1 + R + R ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ OOR ^ n # pre # # Rlt1

Teraz sa integrujte s ohľadom na # R # a používanie limitov #0# a #X# aby ste to dosiahli:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integrácia ľavej strany:

# INT_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Teraz integrujte pravú stranu integráciou výrazu podľa termínu:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Z toho vyplýva, že:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Teraz sa delte #X#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Takže teraz máme výraz výkonových radov pre funkciu, s ktorou sme pôvodne začali. Nakoniec sa môžeme opäť integrovať, aby sme získali:

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / x = INT_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Integrácia pravého výrazu s termínom nám dáva:

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Hodnotenie limitov na štyri výrazy nám poskytne približnú hodnotu:

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Teraz je to len štyri termíny. Ak by ste chceli presnejšie číslo, jednoducho použite viac termínov v sérii. Napríklad prejdením k 100. výročiu:

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / x

Ak odložíte tento postup, ak pracujete cez ten istý proces, ale použijete notáciu sumácie (t. J. S veľkým sigma a nie vypísaním podmienok série), zistíte, že:

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / XDX = -sum_ (n = 0) ^ OO1 / n ^ 2 #

čo je len funkcia Riemann-Zeta 2, t.j.

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / XDX = -sum_ (n = 0) ^ OO1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

V skutočnosti už poznáme hodnotu tohto: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Presnú hodnotu integrálu teda možno odvodiť takto:

# INT_0 ^ 1LN (1-x) / XDX = -pi ^ 2/6 #