Aká je dĺžka oblúka r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) na cínu [1, ln2]?

odpoveď:

Dĺžka oblúka #~~ 2.42533 # (5dp)

Dĺžka oblúka je záporná vzhľadom na dolnú hranicu #1# je väčšia ako horná hranica # # In2

vysvetlenie:

Máme parametrickú vektorovú funkciu, ktorá je daná:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Na výpočet dĺžky oblúka budeme potrebovať vektorovú deriváciu, ktorú môžeme vypočítať pomocou produktového pravidla:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> # #

Potom vypočítame veľkosť derivačného vektora:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t) ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Potom môžeme vypočítať dĺžku oblúka pomocou:

# L = int_ (1) ^ (ln2) bb ul r '(t) | d # #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) t

Je nepravdepodobné, že by sme mohli tento integrál vypočítať pomocou analytickej techniky, takže namiesto použitia numerických metód dostaneme aproximáciu:

# L ~ ~ 2.42533 t (5dp)

Dĺžka oblúka je záporná vzhľadom na dolnú hranicu #1# je väčšia ako horná hranica # # In2