Aká je dĺžka oblúka r (t) = (t, t, t) na cínu [1,2]?

odpoveď:

#sqrt (3) #

vysvetlenie:

Hľadáme dĺžku oblúka vektorovej funkcie:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # pre #t in 1,2 #

Ktoré môžeme ľahko vyhodnotiť pomocou:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || d # #

Takže vypočítame deriváciu, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Takto získame dĺžku oblúka:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || d # #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# sqrt (3) (2-1) #

# sqrt (3) #

Tento triviálny výsledok by nemal prísť ako žiadne prekvapenie, pretože daná pôvodná rovnica je rovnica priamky.