Ako sa vám preukázať arcsin x + arccos x = pi / 2?

odpoveď:

ako je znázornené

vysvetlenie:

nechať

# Arcsinx = theta #

potom

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

odpoveď:

Vyhlásenie je pravdivé, keď inverzné trig funkcie sa vzťahujú na hlavné hodnoty, ale to vyžaduje viac pozornosti, než ukazuje iná odpoveď.

Keď sú inverzné trig funkcie považované za multivalued, dostaneme viac nuance výsledok, napríklad

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ale #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Musíme si to odčítať # Pi / 2 #.

vysvetlenie:

Ten je zložitejší, než vyzerá. Druhá odpoveď to neplatí za správnu úctu.

Všeobecným dohovorom je použitie malého písmena #arccos (x) # a #arcsin (x) # ako viachodnotové výrazy, z ktorých každý označuje všetky hodnoty, ktorých kosínus alebo sínus má danú hodnotu #X#.

Význam týchto súčtov je naozaj každá možná kombinácia a tie by to vždy nedali # Pi / 2. # Nebudú ani vždy dávať jeden z konterminálnych uhlov # pi / 2 + 2pi k quad # celé číslo # K #, ako to teraz ukážeme.

Pozrime sa, ako to funguje s viachodnotovými inverznými funkciami trig. Pamätajte si vo všeobecnosti cos x = cos a # má riešenia # x = pm a + 2pi k quad # celé číslo # K #.

# c = arccos x # naozaj znamená

#x = cos c #

#s = arcsin x # naozaj znamená

#x = sin s #

#y = s + c #

#X# hrá úlohu reálneho parametra, z ktorého odchádza #-1# na #1#, Chceme to vyriešiť # Y #, nájdite všetky možné hodnoty # Y # ktoré majú #x, s # a # C # ktorý robí tieto súbežné rovnice #x = cos c, x = sin s, y = s + c # true.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Naše vyššie uvedené všeobecné riešenie o rovnosti kosínov.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # celé číslo # K #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Tak dostaneme omnoho viac mlhavých výsledkov, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Je povolené preklopiť prihlásenie # K. #)

Zamerajme sa teraz na hlavné hodnoty, ktoré píšem veľkými písmenami:

Šou #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

Vyhlásenie je skutočne pravdivé pre základné hodnoty definované obvyklým spôsobom.

Suma je definovaná (až kým sa nedostaneme dosť hlboko do komplexných čísel) # -1 le x le 1 # pretože platné siny a kosiny sú v tomto rozsahu.

Pozrime sa na každú stranu ekvivalentu

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

Zoberieme kosínus oboch strán.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (text {Arc} text {sin} (x)) = x #

Takže bez toho, aby sme sa starali o známky alebo hlavné hodnoty, sme si istí

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) #

Ďalším krokom je zložitá časť, ktorá si zaslúži rešpekt.

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # NIE JE SI istá

Musíme opatrne šliapať. Pozrime sa na pozitívne a negatívne #X# oddelene.

najprv # 0 le x le 1 #, To znamená, že hlavné hodnoty oboch inverzných trig funkcií sú v prvom kvadrante, medzi nimi #0# a # Pi / 2. # Obmedzený k prvému kvadrantu, rovné kosiny znamenajú rovnaké uhly, takže sme dospeli k záveru #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

teraz # -1 le x <0. # Hlavná hodnota inverzného znamienka je vo štvrtom kvadrante a pre #x <0 # zvyčajne definujeme hlavnú hodnotu v rozsahu

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

Hlavnou hodnotou pre negatívny inverzný kosínus je druhý kvadrant, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Takže máme dva uhly v druhom kvadrante, ktorých kosiny sú si rovné a môžeme konštatovať, že uhly sú rovnaké. pre #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Tak či onak, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #