Aké je koncové správanie funkcie f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> t ako #X -> infty # (#ln (x) # rastie bez viazania ako #X# rastie bez viazania) a # F (x) = ln (x) -> - infty # ako #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # rastie bez viazania v negatívnom smere ako #X# sa blíži nule sprava).

Na preukázanie prvej skutočnosti, musíte v podstate ukázať, že rastúce funkcie # F (x) = ln (x) # nemá žiadnu horizontálnu asymptotu ako #X -> infty #.

nechať #M> 0 # byť akékoľvek dané kladné číslo (bez ohľadu na to, aké veľké). ak #X> e ^ {M} #, potom # F (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (keďže # F (x) = ln (x) # je rastúca funkcia). To dokazuje, že každá vodorovná čiara # Y = M # nemôže byť horizontálna asymptota # F (x) = ln (x) # ako #X -> infty #, Skutočnosť, že # F (x) = ln (x) # je rastúca funkcia teraz znamená, že # F (x) = ln (x) -> infty # ako # X-> infty #.

Na preukázanie druhej skutočnosti, nech #M> 0 # akékoľvek kladné číslo, takže # -M <0 # je akékoľvek dané záporné číslo (bez ohľadu na to, ako ďaleko od nuly). ak # 0 <x <e ^ {- M} #, potom # F (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (keďže # F (x) = ln (x) # zvyšuje sa). To to dokazuje # F (x) = ln (x) # dostane pod horizontálnu čiaru, ak # 0 <x # je dostatočne blízko nule. To znamená # F (x) = ln (x) -> - infty # ako #x -> 0 ^ {+} #.