Ako zistíte antideriváciu dx / (cos (x) - 1)?

odpoveď:

Do niektorých konjugovať násobenie, použiť niektoré trig, a dokončiť získať výsledok # INT1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

vysvetlenie:

Rovnako ako u väčšiny problémov tohto typu, vyriešime to pomocou konjugovaného multiplikačného triku. Kedykoľvek máte niečo rozdelené niečím plus / mínus niečo (ako v # 1 / (cosx-1) #), je vždy užitočné vyskúšať konjugované násobenie, najmä s funkciami trig.

Začneme násobením # 1 / (cosx-1) # konjugátom # Cosx-1 #, ktorý je # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Možno sa čudujete, prečo to robíme. Je to tak, že môžeme použiť rozdiel vlastností štvorcov, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #v menovateli, aby to trochu zjednodušilo. Späť na problém:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (biela), (III) ACOLOR (biely) (XXX) bcolor (biely) (XXX) ACOLOR (biely) (XXX) b #

Všimnite si, ako je to v podstate # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

A čo tak # Cos ^ 2x-1 #? No, vieme # Sin ^ 2x = 1-cos ^ # 2x, Vynásobme to tým #-1# a zistíme, čo dostaneme:

# 1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ # 2x

# = Cos ^ 2-1 #

Ukazuje sa, že # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, tak poďme nahradiť # Cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ # 2x

To je ekvivalentné # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ # 2x, ktorý sa pomocou niektorých trig, scvrkáva na # -Cotxcscx-CSC ^ # 2x.

V tomto bode sme zjednodušili integráciu # INT1 / (cosx-1) dx # na # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #, Použitím pravidla súčtu sa to stane:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

Prvým z nich je # # Cscx (pretože derivát # # Cscx je # # -Cotxcscx) a druhá je # # Cotx (pretože derivát # # Cotx je # -Csc ^ # 2x). Pridať na konštantu integrácie # C # a máte svoje riešenie:

# INT1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #