Ako zistíte antideriváciu (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

odpoveď:

#arctan (e ^ x) + C #

vysvetlenie:

# "write" e ^ x "dx ako" d (e ^ x) ", potom dostaneme" # #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "so substitúciou y =" e ^ x ", dostaneme # #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "čo sa rovná" #

#arctan (y) + C #

# "Teraz nahradiť späť" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

odpoveď:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

vysvetlenie:

Chceme nájsť # Inte ^ x / (1 + e ^ (2 x)), "d" x = INT1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Teraz nech # U = e ^ x # a tak sa na oboch stranách dáva rozdiel # Du = e ^ XDX #, Teraz nahradíme obidve tieto rovnice do integrálu, aby sme sa dostali

# INT1 / (1 + u ^ 2), "d" u #

Toto je štandardný integrál, ktorý sa vyhodnocuje # # Arctan, Náhrada za #X# dostaneme konečnú odpoveď:

#arctan e ^ x + "c" #

odpoveď:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

vysvetlenie:

Po prvé, necháme # U = 1 + e ^ (2 x) #, Integrovať s ohľadom na # U #rozdeľujeme derivátom # U #, ktorý je # 2e ^ (2 x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) d = 1/2 min e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) t

# = 1 / 2in 1 / (e ^ x * u) # #

Integrovať s ohľadom na # U #, potrebujeme všetko vyjadrené v zmysle # U #, takže musíme vyriešiť to, čo # E ^ x # je z hľadiska # U #:

# U = 1 + e ^ (2 x) #

# E ^ (2 x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Teraz ho môžeme pripojiť späť do integrálu:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) d = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)

Ďalej predstavíme substitúciu pomocou # Z = sqrt (u-1) #, Derivát je:

# (Dž) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

tak ho rozdeľujeme tak, aby sa integroval s ohľadom na # Z # (pamätajte, že delenie je rovnaké ako násobenie recipročným):

1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) d = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) d = =

# = 2 / 2krát 1 / u

Teraz máme opäť nesprávnu premennú, takže musíme vyriešiť to, čo # U # sa rovná z hľadiska # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

To dáva:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Toto je spoločný derivát # Tan ^ -1 (z) #, takže dostaneme:

#int 1 / (1 + z ^ 2) d = tan ^ -1 (z) + C #

Vrátením všetkých substitúcií dostaneme:

# Tan ^ -1 (Z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2 x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #