Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

odpoveď:

#(0,0)# je sedlový bod

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # a # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # sú lokálne maximá

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # a # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # sú miestne minimá

# (0, pm 1 / sqrt 2) # a # (pm 1 / sqrt 2,0) # sú inflexné body.

vysvetlenie:

Pre všeobecnú funkciu #F (x, y) # so stacionárnym bodom na # (X_0, y_0) # máme expanziu Taylorovho radu

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldoty #

Pre funkciu

#f (x) = x y ^ ^ - x ^ 2-y ^ 2} #

máme

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Je ľahké vidieť, že obidva prvé deriváty zmiznú na nasledujúcich rybníkoch

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Aby sme preskúmali povahu týchto stacionárnych bodov, musíme sa pozrieť na správanie druhých derivátov.

teraz

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

a podobne

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

a

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Tak pre #(0,0)# máme # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # a # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - preto

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Ak sa priblížite #(0,0)# pozdĺž čiary # X = y #, toto sa stáva

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

a tak #(0,0)# Je to samozrejme minimum, ak sa priblížite z tohto smeru. Na druhej strane, ak sa priblížite pozdĺž čiary # X = -y # máme

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

a tak #(0,0)# je maximálne v tomto smere, teda #(0,0)# je a bod sedla.

pre # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # je to ľahko vidieť

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # a # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

čo znamená, že

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} # #

Funkcia sa teda znižuje podľa toho, ako sa od nej vzdialite # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # a to je lokálne maximum, Je ľahko vidieť, že to isté platí # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (toto malo byť zrejmé, pretože funkcia zostáva nezmenená # (x, y) do (-x, -y) #!

Opäť platí, že pre oba # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # a # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # máme

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # a # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Obidva tieto body sú teda miestnymi minimami.

Štyri body # (0, pm 1 / sqrt2) # a # (pm 1 / sqrt2, 0) # sú problematickejšie - keďže všetky deriváty druhého poriadku v týchto bodoch zmiznú. Teraz sa musíme pozrieť na deriváty vyššieho rádu. Našťastie na to naozaj nemusíme pracovať veľmi tvrdo - najbližšie výnosy z derivátov

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ktorý je nenulový pre obidva # (0, pm 1 / sqrt2) # a # (pm 1 / sqrt2, 0) #, To znamená, že napríklad

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

ktorý ukazuje, že sa to zvýši z # f (0,1 / sqrt 2) # v jednom smere a pokles od neho v druhom. teda # (0,1 / sqrt2) # je bod inflexie. Rovnaký argument funguje aj pre ostatné tri body.