Aké sú extrémne a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Aké sú extrémne a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
Anonim

odpoveď:

# {: ("Kritický bod", "Záver"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

vysvetlenie:

Teória na identifikáciu extrémov # Z = f (x, y) # je:

  1. Riešiť súčasne kritické rovnice

    # (čiastočné f) / (čiastočné x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 t (tj # Z_x = z_y = 0 #)

  2. Ohodnotiť #f_ (x x), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) # v každom z týchto kritických bodov. Preto hodnotiť # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # v každom z týchto bodov
  3. Určite charakter extrému;

    # {: (Delta> 0, "Existuje minimum, ak" f_ (xx) <0), (, "a maximum, ak" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "je sedlo"), (Delta = 0, je potrebná ďalšia analýza):} #

Takže máme:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Nájdime prvé čiastkové deriváty:

# (čiastočné f) / (čiastočné x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (čiastočné f) / (čiastočné y) = 2xy + 2y #

Takže naše kritické rovnice sú:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Z druhej rovnice máme:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # X = -1 # do prvej rovnice a dostaneme:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # Y = 0 # do prvej rovnice a dostaneme:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

A tak máme štyri kritické body so súradnicami;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Pozrime sa teraz na druhé čiastkové deriváty, aby sme mohli určiť charakter kritických bodov:

# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x ^ 2) = 12x + 10 #

# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y ^ 2) = 2x + 2 #

# (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x čiastočné y) = 2y (= (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y čiastkové x)) #

A musíme vypočítať:

# Delta = (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x ^ 2) (čiastočné ^ 2f) / (čiastočné y ^ 2) - ((čiastočné ^ 2f) / (čiastočné x čiastočné y)) ^ 2 #

v každom kritickom bode. Druhé čiastkové derivačné hodnoty, # Delta #a záver je takýto: t

# {: ("Kritický bod", (čiastočný ^ 2f) / (čiastočný x ^ 2), (čiastočný ^ 2f) / (čiastočný y ^ 2), (čiastočný ^ 2f) / (čiastočný x čiastočný y), Delta, "Záver"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Tieto kritické body môžeme vidieť, ak sa pozrieme na 3D graf:

Počet
Voľba editora