Čo je integrál sqrt (9-x ^ 2)?

Kedykoľvek vidím tieto druhy funkcií, uznávam (tým, že veľa praktizujem), že by ste tu mali použiť špeciálnu náhradu:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Môže to vyzerať ako podivná substitúcia, ale uvidíte, prečo to robíme.

#dx = 3cos (u) du #

Nahradiť všetko v integrále:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Môžeme priniesť 3 z integrálu:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Môžete označiť 9 z nich:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Poznáme identitu: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Ak to vyriešime # # Cosx, dostaneme:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

To je presne to, čo vidíme v integrále, takže ho môžeme nahradiť:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Možno viete, že toto je základný antiderivát, ale ak nie, môžete na to prísť takto:

Používame identitu: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (môžete to urobiť náhradou)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Všetko, čo musíme urobiť, je dať # U # do funkcie. Pozrime sa na to, ako sme ho definovali:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Získať # U # z toho musíte prevziať inverznú funkciu # # Sin na oboch stranách # # Arcsin:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Teraz ho musíme vložiť do nášho riešenia:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Toto je konečné riešenie.