Aké sú lokálne extrémy f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

odpoveď:

Jediný extrém je # X = 0,90322 … #, minimálna funkcia

Ale musíte vyriešiť kubickú rovnicu, aby ste sa tam dostali a odpoveď nie je vôbec „pekná“ - ste si istí, že otázka je správne napísaná? Zahrnula som aj návrhy, ako sa k odpovedi priblížiť bez toho, aby sme sa dostali do množstva analýzy uvedenej nižšie.

vysvetlenie:

1. Štandardný prístup nás nasmeruje do pracného smeru

Najprv vypočítajte deriváciu:

# F (x) = (4x-3) ^ 2- (X-4) / x #

tak (podľa pravidiel reťazca a kvocientu)

# F '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (X- (X-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Potom nastavte hodnotu 0 a vyriešte #X#:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Máme kubickú rovnicu, ktorá je riešiteľná radikálmi, ale to je ďaleko od jednoduchého procesu. Vieme, že táto rovnica bude mať vo všeobecnosti tri korene, ale nie, že budú všetky reálne, hoci aspoň jeden z nich bude - že aspoň jeden bude známy z intermediálnej hodnoty - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - ktorý nám hovorí, že pretože funkcia ide do nekonečna na jednom konci a mínus nekonečno na druhom, potom musí brať všetky hodnoty medzi jeden alebo druhý bod.

Skúšanie niekoľkých jednoduchých hodnôt (1 je často informatívna a rýchla hodnota na vyskúšanie), vidíme, že existuje koreň niekde medzi 1/2 a 1, ale nenájdeme žiadne zjavné riešenia na zjednodušenie rovnice. Riešenie kubickej rovnice je zdĺhavý a zdĺhavý proces (ktorý urobíme nižšie), takže stojí za to sa pokúsiť informovať svoju intuíciu predtým, ako tak urobíme. Skúšobné riešenia ďalej zistíme, že je medzi 0,9 a 0,91.

2. Vyriešte zjednodušený problém

Funkcia pozostáva z rozdielu dvoch výrazov, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # a # F_2 (x) = (x-4) / x #, Pre väčšinu z rozsahu #X#, prvý z nich bude prevažne dominovať, pretože druhý termín bude blízky 1 pre všetky hodnoty #X# od malých hodnôt. Poďme sa opýtať, ako sa tieto dve jednotlivé termíny chovajú.

Prvý termín, # # F_1

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Nastaviť na nulu: # X = 3/4 #, Toto je v oblasti nulovej funkcie, ktorú sme našli, ale nie je k nej veľmi blízko.

# F (1) # je parabola v #X#, ktorý sa dotýka #X# os na # X = 3/4 #, Jeho derivát je strmá priamka gradientu 32, ktorá prechádza osou x v tom istom bode.

Druhé obdobie, # # F_2

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Nastavte to na nulu: nie sú žiadne riešenia #X#, tak # # F_2 nemá žiadnu funkciu ako samostatnú funkciu. Má však bod, v ktorom fúka do nekonečna: # X = 0 #, To ide do pozitívneho nekonečna, ako sa blíži 0 od zápornej strany, a záporné nekonečno, ako sa blíži 0 od pozitívnej strany. Ďaleko od tohto bodu má krivka tendenciu k hodnote 1 na oboch stranách. # # F_2 je hyperbola sústredená na # (X, y) = (0,1) #, Jeho derivát je krivka v dvoch kusoch, pre záporné a pozitívne #X#, To ide do pozitívneho nekonečna z oboch smerov na # X = 0 # a je vždy pozitívny.

Poznač si to # F_1 ^ '(x) <0 # pre všetkých #X <0 #, Neexistujú žiadne križovatky # F_1 ^ '# a # F_2 ^ '# negatívne #X# Os. Nad pozitívne #X# musí byť presne jeden priesečník - jedna krivka sa pohybuje od menej ako 0 do nekonečna ako #X# robí to isté, zatiaľ čo druhý ide z nekonečna na 0. Aplikáciou vety o strednej hodnote (pozri vyššie) musia prejsť presne raz.

Takže teraz sme si istí, že hľadáme len jedno riešenie, ale na to nemáme dobrú odpoveď.

3. Numericky aproximujte odpoveď

V profesionálnych situáciách, ktoré si vyžadujú riešenie týchto problémov, je najrýchlejší spôsob, ako sa dostať na miesto, kde sa potrebujete dostať, vykonať numerickú aproximáciu. Dobre dobrý pre nájdenie koreňov funkcie je Newton-Raphsonova metóda (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Čo je: nájsť koreň funkcie # F #, najprv sa hádajte # # X_0 v koreňovom adresári a potom opakovať okrúhle a kruhové podľa tohto vzorca:

# X 1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# # X_1 je lepší odhad ako # # X_0a toto sa len opakuje, kým sa nedosiahne požadovaná presnosť.

Pripomeňme si našu funkciu a jej deriváciu:

# F (x) = (4x-3) ^ 2- (X-4) / x #

# F '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Takže by sme mohli uhádnuť 0,5 ako nášho koreňa, robiť # X_0 = 0,5 #, # F (x_0) = 8 #, # F '(x_0) = - 24 #, teda # F_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, naozaj bližšia odpoveď. Opakovanie nás privádza k hodnote približne 0,9 uvedenej vyššie.

Takže môžeme nájsť odpoveď s ľubovoľnou presnosťou, ale úplná odpoveď vyžaduje analytické riešenie, niečo, čo sme poznamenali vyššie by bolo ťažké. Takže tu ideme …

4. Vyriešte celý problém pomaly a bolestne

Urobme teraz úplné kubické riešenie (budete musieť milovať algebru, aby ste to vyriešili správne):

Po prvé, rozdeliť, aby sa vedúci termín mať koeficient 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Po druhé vykonajte nasledujúcu substitúciu premennej # Y # odstrániť # X ^ 2 # termín:

náhradka # X = y + 1/4 #, Všeobecnejšie, pre rovnicu formulára # Ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, jeden by nahradil # X = y-b / (3a) #, Ak pracujete cez algebru, uvidíte, že to vždy spôsobuje # X ^ 2 # termín zmizne. V tomto prípade získame:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Rozbaľte zátvorky, pamätajúc na binomickú vetu:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Všimnite si, že tí dvaja # Y ^ 2 # termíny presne zrušili)

# R ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Teraz máme rovnaký počet termínov ako predtým, pretože predtým sme nemali # Y # Termín. Strata # Y ^ 2 # termín je matematický zisk, sľub!

Po tretie, vykonajte inú substitúciu (nahradenie Vieta: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html), aby sa toto zmenilo na kvadratické:

náhradka # Y = w + 1 / (16W) #, Všeobecnejšie, pre rovnicu formulára # Y ^ 3 + py = q #táto substitúcia je # Y = w-p / (3 w) #.

# R ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (W + 1 / (16W)) ^ 3-3 / 16 (m + 1 / (16 W)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256W) + 1 / (4096 w ^ 3) -3 / 16 w-3/256 w = 5/32 #

(Všimnite si, že obe # W # a # 1 / w # termíny zrušili presne)

# W ^ 3 + 1 / (4096 w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32 w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Teraz sa môžete tiež pýtať, čo je to na zemi, z čoho je toto - my sme si pohrávali s našou rovnicou stupňa 3, kým nemáme rovnicu stupňa 6, určite stratu … Ale teraz to môžeme považovať za kvadratickú rovnicu v # W ^ 3 #a môžeme vyriešiť kvadratické rovnice …)

Po štvrté, vyriešte kvadratickú rovnicu pre # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32 w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 2-5 / 32 (m ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Pomocou kvadratickej rovnice:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Máme odpoveď! Teraz to musíme len spätne prepojiť s našou pôvodnou premennou #X#.

Po piate, obráťte sa späť na naše pôvodné termíny

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Vezmite koreň kocky:

#w = (5 + -2sqrt (6) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Pripomeňme si, ako sme príbuzní # Y # na # W # predtým: # Y = w + 1 / (16W) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

teraz # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)), (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Zdá sa, že Socratic neponúka mínus plus plus mínus, takže to musíme napísať takto)

teda

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Ak v druhom veľkom termíne vynásobíme znamienka mínus, uvidíme, že dostávame dva identické výrazy, takže môžeme vynechať kvadratické znamienka plus / mínus a zjednodušiť

# R = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Nakoniec (!) Pripomeňme, že sme si nastavili # X = y + 1/4 #.

teda

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Po šieste, vyvodiť, koľko z týchto koreňov je reálnych

Dva výrazy v koreňoch kocky majú jeden skutočný koreň a dva konjugované imaginárne korene. Skutočné číslo # A # má tri korene kocky # A ^ (1/3) #, # A ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# A ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #, Teraz vieme, že oba výrazy v koreňoch kocky sú pozitívne (všimnite si # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), a tak imaginárne zložky v druhej a tretej hodnote pre #X# nula.

záver

Preto existuje len jeden skutočný koreň #X# (ako sme dospeli ďaleko vyššie jednoduchšou analýzou), a teda iba jeden lokálny extrém na krivke, o ktorú sa pýtate, daný výrazom

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

alebo v desiatkovej sústave

# X = 0,90322 … #

Môžeme vyvodiť, že toto je minimum funkcie tým, že existuje len jeden extrém a funkcia má tendenciu k pozitívnemu nekonečnu na oboch koncoch.