Aké sú globálne a lokálne extrémy f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

odpoveď:

# F (x) # má absolútne minimum na úrovni #(-1. 0)#

# F (x) # má lokálne maximum na # (- 3, 4e ^ -3) #

vysvetlenie:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Pravidlo produktu

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Pre absolútne alebo lokálne extrémy: #f '(x) = 0 #

Tu: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

od tej doby # e ^ x> 0 forall x v RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 alebo -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Pravidlo produktu

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Odvtedy, pretože # E ^ x> 0 # musíme len otestovať znamenie # (X ^ 2 + 6x + 7) #

v našich extrémnych bodoch na určenie, či bod je maximum alebo minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # je minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # je maximum

Vzhľadom k grafu # F (x) # nižšie je jasné, že # F (-3) # je lokálne maximum a # F (-1) # je absolútne minimum.

graf {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5,788, 2,005, -0,658, 3,24}

Nakoniec, vyhodnotenie extrémnych bodov:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

a

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 = 0,199 #