Aké sú lokálne extrémy f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

odpoveď:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # má miestne minimum pre # X = 1 # a lokálne maximum pre # X = 3 #

vysvetlenie:

Máme:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

funkcia je definovaná vo všetkých # RR # ako # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Kritické body môžeme identifikovať zistením, kde sa prvý derivát rovná nule:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

kritické body sú:

# x_1 = 1 # a # x_2 = 3 #

Keďže menovateľ je vždy pozitívny, znamenie # F '(x) # je opakom znaku čitateľa # (X ^ 2-4x + 3) #

Teraz vieme, že polynóm druhého poriadku s kladným koeficientom náskoku je pozitívny mimo intervalu medzi koreňmi a záporom v intervale medzi koreňmi, takže:

#f '(x) <0 # pre #xv (-oo, 1) # a #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # pre #x in (1,3) #

Máme to potom # F (x) # sa znižuje v # (- oo, 1) #, zvýšenie v #(1,3)#a opäť klesá # (3 + oo) #, takže # x_1 = 1 # musí byť miestne minimum a. t # X_2 = 3 # musí byť lokálne maximum.

graf {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}