Rozliatie ropy z pretrhnutého tankera sa šíri v kruhu na povrchu oceánu. Plocha rozliatia sa zvyšuje rýchlosťou 9π m² / min. Ako rýchlo sa polomer rozliatia zvyšuje, keď je polomer 10 m?

odpoveď:

#dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min #.

vysvetlenie:

Vzhľadom k tomu, oblasť kruhu je # A = pi r ^ 2 #, na každej strane môžeme prijať rozdiel, aby sme získali:

# DA = 2pirdr #

Preto sa polomer mení pri rýchlosti # Dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) #

To znamená, #dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min #.

Nadmorská výška trojuholníka sa zvyšuje rýchlosťou 1,5 cm / min, zatiaľ čo plocha trojuholníka sa zvyšuje rýchlosťou 5 cm2 / min. V akej miere sa mení základňa trojuholníka, keď je nadmorská výška 9 cm a plocha je 81 štvorcových cm?

Toto je súvisiaci problém typu (zmeny) typu. Požadované premenné sú a = nadmorská výška A = plocha a keďže plocha trojuholníka je A = 1 / 2ba, potrebujeme b = bázu. Uvedené rýchlosti zmeny sú v jednotkách za minútu, takže (neviditeľná) nezávislá premenná je t = čas v minútach. Uvádzame: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min. Žiadame, aby sme našli (db) / dt, keď a = 9 cm a A = 81 cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, rozlišujúc s ohľadom na t, dostaneme: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Pravidlo prod

Polomer sférického balónika sa zvyšuje rýchlosťou 2 centimetre za minútu. Ako rýchlo sa mení objem, keď je polomer 14 centimetrov?

1568 * pi cc / minute Ak je polomer r, potom rýchlosť zmeny r vzhľadom na čas t, d / dt (r) = 2 cm / minúta Objem ako funkcia polomeru r pre sférický objekt je V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Potrebujeme nájsť d / dt (V) pri r = 14 cm Teraz, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Ale d / dt (r) = 2 cm / min. Takže d / dt (V) pri r = 14 cm je: 4pi * 14 ^ 2 * 2 kubických cm / minúta = 1568 * pi cc / minúta

Voda unikajúca na podlahu tvorí kruhový bazén. Polomer bazéna sa zvyšuje rýchlosťou 4 cm / min. Ako rýchlo sa zvyšuje plocha bazéna, keď je polomer 5 cm?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Najprv by sme mali začať rovnicou, ktorú poznáme v súvislosti s oblasťou kruhu, bazénom a jeho polomerom: A = pir ^ 2 Chceme však vidieť, ako rýchlo je oblasť oblasti bazén sa zvyšuje, čo znie veľa ako rýchlosť ... ktorá znie veľa ako derivát. Ak vezmeme deriváciu A = pir ^ 2 s ohľadom na čas, t, vidíme, že: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Nezabudnite, že pravidlo reťazca sa uplatňuje vpravo ruka, s r ^ 2 - to je podobné implicitnej diferenciácii.) Takže chceme určiť (dA) / dt. Otázka nám povedala, že (dr)