Voda unikajúca na podlahu tvorí kruhový bazén. Polomer bazéna sa zvyšuje rýchlosťou 4 cm / min. Ako rýchlo sa zvyšuje plocha bazéna, keď je polomer 5 cm?

odpoveď:

# # 40pi # "cm" ^ 2 "/ min" #

vysvetlenie:

Najprv by sme mali začať rovnicou, ktorú poznáme v súvislosti s plochou kruhu, bazénom a jeho polomerom:

# A = pir ^ 2 #

Chceme však vidieť, ako rýchlo sa oblasť bazéna zvyšuje, čo znie veľa ako rýchlosť … ktorá znie veľa ako derivát.

Ak vezmeme deriváciu # A = pir ^ 2 # s ohľadom na čas, # T #vidíme, že:

# (DA) / dt = pi * 2R * (dr) / dt #

(Nezabudnite, že reťazec pravidlo platí na pravej strane, s # R ^ 2 #- toto je podobné implicitnej diferenciácii.)

Takže chceme určiť # (DA) / dt #, Táto otázka nám to povedala # (Dr) / dt = 4 # keď sa hovorí, "polomer bazéna sa zvyšuje rýchlosťou #4# cm / min, "a tiež vieme, že chceme nájsť # (DA) / dt # kedy # R = 5 #, Ak tieto hodnoty pripojíme, zistíme, že:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Aby sme to povedali slovami, hovoríme, že:

Plocha bazéna sa zvyšuje rýchlosťou # # Bb40pi cm# "" ^ BB2 #/ min, keď je polomer kruhu # BB5 # cm.

Voda vytečie z obrátenej kužeľovej nádrže rýchlosťou 10 000 cm3 / min a súčasne sa voda čerpá do nádrže konštantnou rýchlosťou. Ak má nádrž výšku 6 m a priemer v hornej časti je 4 m a ak hladina vody stúpa rýchlosťou 20 cm / min, keď je výška vody 2 m, ako zistíte rýchlosť, ktorou sa voda čerpá do nádrže?

Nech V je objem vody v nádrži v cm ^ 3; nech h je hĺbka / výška vody v cm; a r je polomer povrchu vody (na vrchole) v cm. Pretože nádrž je obrátený kužeľ, tak je hmotnosť vody. Vzhľadom k tomu, že nádrž má výšku 6 ma polomer v hornej časti 2 m, podobné trojuholníky znamenajú, že frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 tak, že h = 3r. Objem invertovaného kužeľa vody je potom V = f {1} {3} r = {r} {3}. Teraz rozlišujeme obe strany s ohľadom na čas t (v minútach), aby sme získali frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdrac {dr} {dt} (v tomto sa používa pravidlo reťazc

Rozliatie ropy z pretrhnutého tankera sa šíri v kruhu na povrchu oceánu. Plocha rozliatia sa zvyšuje rýchlosťou 9π m² / min. Ako rýchlo sa polomer rozliatia zvyšuje, keď je polomer 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Keďže plocha kruhu je A = pi r ^ 2, môžeme na každej strane zobrať diferenciál, aby sme získali: dA = 2pirdr Preto sa polomer mení pri rýchlosti dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Takže dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45m / min.

Keď bola Janeho brodivý bazén nový, mohol byť naplnený do 6 minút vodou z hadice. Teraz, keď má bazén niekoľko netesností, trvá len 8 minút, kým všetka voda unikne z celého bazéna. Ako dlho trvá naplnenie únikového bazéna?

24 minút Ak je celkový objem bazéna x jednotiek, potom sa každú minútu x / 6 jednotiek vody vloží do bazéna. Podobne x / 8 jednotiek vody unikajúcich z bazéna každú minútu. Preto (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 jednotiek vody naplnenej za minútu. V dôsledku toho bazén trvá 24 minút.