Ak kameň spadne v nadmorskej výške 174,9 m od vrtuľníka, ktorý sa stúpa rýchlosťou 20,68 m / s, ako dlho trvá kameň, aby sa dostal na zem?

odpoveď:

8,45 sekúnd.

vysvetlenie:

Smer „g“, keď hovoríme o zrýchlení, závisí od súradnicového systému, ktorý definujeme. Napríklad, ak by ste definovali smerom nadol ako kladné „y“, potom g by bolo pozitívne. Dohovor má byť pozitívny, takže g bude negatívny. To je to, čo budeme používať, aj my si berieme pôdu ako #y = 0 #

#COLOR (red) ("EDIT") # Pridal som prístup s použitím kinematických rovníc, ktoré sa naučíte na začiatku. Všetko, čo som tu urobil, je odvodiť ich pomocou kalkulu, ale oceňujem, že ste ho nemuseli zakryť.Prejdite nadol na červený názov pre prístup bez kalkulácie.

Môžeme sa na to pozerať oveľa podrobnejšie, keď začneme od nuly druhým Newtonovým zákonom. Keď kameň spadne, má počiatočnú rýchlosť, ale jediná sila, ktorá naň pôsobí, je spôsobená gravitáciou. Ako pozitívny smer y sme definovali smerom nahor, takže podľa Newtonovho druhého zákona môžeme písať

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Je to preto, že kameň sa zrýchli smerom k zemi, ktorú sme definovali ako negatívny smer.

Integrácia tohto výrazu dáva:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # je rýchlosť kameňa, takže keď použijeme počiatočnú rýchlosť na #y '(0) = + 20,68 # dorazíme na

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20,68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Toto modeluje rýchlosť a dáva zmysel, ak o tom premýšľate. Keď sa uvoľní, bude mať rovnakú rýchlosť ako vrtuľník a bude sa časom pohybovať smerom nahor, ale ako čas postupuje, zastaví sa a potom začne klesať.

Ak chcete nájsť posunutie, znova ho integrujeme:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Použite počiatočnú podmienku #y (0) = 174,9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174,9 #

#terefore y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Ak chcete vyriešiť čas dostať sa na zem, nastaviť # Y = 0 # a vyriešiť kvadratické:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Toto je určite práca pre kvadratický vzorec:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9))) / g #

prevzatia #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 alebo -4.23 #

Zlikvidujeme negatívne riešenie, takže kameň zaberie 8,45 sekundy.

#color (červená) ("Nie Calculus Approach") #

My to vieme #v = v_0 + na # kde # V # je konečná rýchlosť, # # V_0 je počiatočná rýchlosť, # A # je zrýchlenie a # T # je čas, o ktorý sa žiada.

Ako som už povedal skôr, so súradnicovým systémom smerom nahor # G # bude záporný, ale kameň sa bude spočiatku pohybovať smerom nahor, pretože je to počiatočná rýchlosť. Chceme nájsť bod, v ktorom sa prestane pohybovať smerom nahor:

nastaviť #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Teraz použite

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # znovu s #a = -g #

tak #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21,8 m #

To znamená, že kameň sa na chvíľu zastaví #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196,7 m #

Teraz nemáme žiadne otravné počiatočné rýchlosti, s ktorými by sme sa mohli vyrovnať, len priamy pád z tejto výšky:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Nakoľko je kladné smerom nahor, pád bude mať za následok záporné posunutie

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196,7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196,7) /9,8) #

#t = 8.45 # podľa potreby.

odpoveď:

8.45s

vysvetlenie:

Vrtuľník sa vznáša rýchlosťou # U = 20,68 m / s # Takže kameň, ktorý z neho spadol, bude mať rovnakú počiatočnú rýchlosť ako stúpajúca rýchlosť vrtuľníka, ale gravitačná sila smerom nadol zabezpečí zrýchlenie smerom nadol (g).

Vzhľadom na to, že kameň pochádza z vrtuľníka ako pôvod, postupujeme nasledovne

ak vzostupný počiatočná rýchlosť pozitívne potom zrýchlenie smerom nadol (g) by sa mali brať ako negatívny a posun smerom nadol (h) tiež zvážiť negatívny.

#color (červená) ("Tu hore + ve a down -ve") #

Teraz výpočet času (t) dosiahnutia zeme

Takže máme

# u = + 20,68 m / s #

# G = -9,8 m / s ^ 2 #

# H = -174,9 m #

#t =? #

Vloženie týchto rovníc pohybu v gravitácii (obsahujúce premenné h, u, g, t) dostaneme

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4,9 t ^ 2-20,68tun-174,9 = 0 #

# => T = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9) #

#:. T = 8.45s #

Rovnaká rovnica (1) sa získa, ak obrátime smer#color (červená) ("t. j. smerom nahor a nadol + ive.") #