Ako zistíte absolútne maximálne a absolútne minimálne hodnoty f na danom intervale: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

odpoveď:

Reqd. extrémne hodnoty sú # -25 / 2 a 25/2 #.

vysvetlenie:

Používame substitúciu # t = 5sinx, tv -1,5 #.

Všimnite si, že táto substitúcia je prípustná, pretože

# tv -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, ktorý je dobrý, ako rozsah # # Sin fun. je #-1,1#.

teraz, # F (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Vzhľadom k tomu, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Preto reqd. končatiny # -25 / 2 a 25/2 #.

odpoveď:

Nájdite monotónnosť funkcie z derivátu a rozhodnite sa, ktoré lokálne maximum / minimum sú najväčšie, najmenšie.

Absolútne maximum je:

# F (3,536) = 12,5 #

Absolútne minimum je:

# F (-1) = - 4,899 #

vysvetlenie:

# F (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Derivácia funkcie:

# F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

# F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

# F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

# F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

# F '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

# F '(t) = (25-2 t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

# F '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

# F '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

# F '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Čitateľ má dve riešenia:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Čitateľ je preto:

  Negatívne pre #t in (-oo, -3,536) uu (3,536, + oo) #

  Pozitívne pre #t in (-3.536,3.536) #

• Menovateľ je vždy kladný v roku 2006. T # RR #, pretože je to druhá odmocnina.

  Nakoniec je uvedený rozsah #-1,5#

Preto derivácia funkcie je:

- Negatívne pre #tv -1,3,536 #

- Pozitívne pre #t in (3.536,5) #

To znamená, že graf najprv ide hore # F (-1) # na # F (3,536) # a potom ide dole # F (5) #, Toto robí # F (3,536) # absolútne maximum a najväčšia hodnota # F (-1) # a # F (5) # je absolútne minimum.

Absolútne maximum je # F (3,536) #:

# F (3,536) = 3.536sqrt (25 - 3,536 ^ 2) = 12,5 #

Pre maximálne maximum:

# F (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

# F (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Z tohto dôvodu # F (-1) = - 4,899 # je absolútne minimum.

Z grafu nižšie vidíte, že je to pravda. Len ignorovať oblasť vľavo #-1# pretože je mimo domény:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}