Polomer kruhu vpísaného do rovnostranného trojuholníka je 2. Aký je obvod trojuholníka?

odpoveď:

Obvod sa rovná # 12sqrt (3) #

vysvetlenie:

Existuje mnoho spôsobov, ako tento problém vyriešiť.

Tu je jeden z nich.

Stred kruhu vpísaného do trojuholníka leží na priesečníku jeho uhlov uhlov. Pre rovnostranný trojuholník je to ten istý bod, kde sa pretínajú aj jeho nadmorské výšky a medián.

Akýkoľvek medián je vydelený priesečníkom s inými mediánmi v pomere #1:2#, Medián, nadmorská výška a uhol bokom príslušného rovnostranného trojuholníka sa teda rovná

#2+2+2 = 6#

Teraz môžeme použiť Pytagorovu vetu na nájdenie strany tohto trojuholníka, ak poznáme jeho nadmorskú výšku / strednú / uhlovú os.

Ak je strana #X#, z Pythagorovej vety

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Odtiaľto:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3), x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Obvod sa rovná trom týmto stranám:

# 3x = 12sqrt (3) #.

odpoveď:

Obvod sa rovná # 12sqrt (3) #

vysvetlenie:

Alternatívny spôsob je uvedený nižšie.

Predpokladajme, že náš rovnostranný trojuholník je #Delta ABC # a je to stred vpísaného kruhu # O #.

Nakreslite stredný / altitude.angle bisector z vrcholu # A # cez bod # O # kým sa nepretína strana # # BC v bode # M #, Je zrejmé, # OM = 2 #.

Zvážte trojuholník #Delta OBM #.

to je správny od tej doby #OM_ | _BM #.

uhol # / _ OBM = 30 ^ o # od tej doby # # BO je uhol bisse # / _ ABC #.

bočné # # BM je polovica strany # # BC od tej doby # # AM je medián.

Teraz môžeme nájsť # # OB ako prepona v pravom trojuholníku s jedným ostrým uhlom rovným # 30 ^ o # a katetus opačný k nemu #2#, Táto prepona je dvakrát taká dlhá ako táto katétra, to znamená #4#.

S preponou # # OB a katéter # # OMnájsť iný katéter # # BM podľa Pythagorean Theorem:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Z tohto dôvodu

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Obvod je

# 3 * BC = 12sqrt (3) #